Differentation: Differentialquotient dα/dτ von tanα=cosφ•tanτ bilden

Question

Aufgabe:

gesucht ist der Diff.quotient dα/dτ von tanα=cosφ•tanτ. τ=variable,φ= const.

Problem/Ansatz:

α=arctan(cosφ•tanτ)

Bitte den Lösungsweg angeben: Funktion ist inplizit etc....

mfGn holdi

Comments

Wieso "implizit"? Du hast doch für α eine explizite Darstellung angegeben.

Answer 1

Kennst du die Ableitung vom Tangens? Wenn nicht, kannst du den Tangens umschreiben und mit der Kettenregel ableiten

f(x) = TAN(x) = SIN(x)/COS(x)

f'(x) = (COS(x)·COS(x) - SIN(X)·(- SIN(X)))/COS(x)
f'(x) = (SIN²(x) + COS²(x))/COS²(x)
f'(x) = 1/COS²(x)

Kommst du jetzt schon weiter?

TAN(α) = COS(φ)·TAN(τ)

1/COS²(α) dα = COS(φ)·1/COS²(τ) dτ

dα / dτ = COS(φ)·1/COS²(τ) / (1/COS²(α))

dα / dτ = COS(φ)·COS²(α) / COS²(τ)

Kontrolliere das sorgfältig, denn ich bin auch nicht besser als eine KI und mache auch Fehler.

Comments

Danke für Deine Antwort.

Im Text, den ich nicht verstehe, steht als Lösung

dα/dτ = cosφ / (1  - sin²φ•sin²τ).

Ist das dasselbe wie Deine?

Möglicherwise nicht, denn Deine enthält noch einen Term mit α.

mfGn holdi

---

Wenn α nicht mehr vorkommen soll ist zu substituieren

COS(α)^2 = 1/(1 + TAN²(α))
= 1/(1 + (COS(φ)·TAN(τ))^2)
= 1/(1 + COS²(φ)·TAN²(τ))

Setzen wir das in meine Ableitung ein

dα / dτ = COS(φ)·COS²(α) / COS²(τ)
= COS(φ)·1/(1 + COS²(φ)·TAN²(τ)) / COS²(τ)
= COS(φ) / (COS²(τ)·(1 + COS²(φ)·TAN²(τ)))
= COS(φ) / (COS²(τ) + COS²(φ)·SIN²(τ))
= COS(φ) / (1 - SIN²(τ) + COS²(φ)·SIN²(τ))
= COS(φ) / (1 - SIN²(τ)·(1 - COS²(φ)))
= COS(φ) / (1 - SIN²(τ)·SIN²(φ))

Das ist das, was die Musterlösung auch angibt.