Differentation: Differentialquotient dα/dτ von tanα=cosφ•tanτ bilden

Question

Aufgabe:

gesucht ist der Diff.quotient dα/dτ von tanα=cosφ•tanτ. τ=variable,φ= const.

Problem/Ansatz:

α=arctan(cosφ•tanτ)

Bitte den Lösungsweg angeben: Funktion ist inplizit etc....

mfGn holdi

Comments

Wieso "implizit"? Du hast doch für α eine explizite Darstellung angegeben.

Answer 1

Kennst du die Ableitung vom Tangens? Wenn nicht, kannst du den Tangens umschreiben und mit der Quotientenregel ableiten

f(x) = TAN(x) = SIN(x)/COS(x)

f'(x) = (COS(x)·COS(x) - SIN(X)·(- SIN(X))) / COS²(x)
f'(x) = (SIN²(x) + COS²(x)) / COS²(x)
f'(x) = 1 / COS²(x)

Kommst du jetzt schon weiter?

TAN(α) = COS(φ)·TAN(τ)

1/COS²(α) dα = COS(φ)·1/COS²(τ) dτ

dα / dτ = COS(φ)·1/COS²(τ) / (1/COS²(α))

dα / dτ = COS(φ)·COS²(α) / COS²(τ)

Kontrolliere das sorgfältig, denn ich bin auch nicht besser als eine KI und mache auch Fehler.

Comments

Danke für Deine Antwort.

Im Text, den ich nicht verstehe, steht als Lösung

dα/dτ = cosφ / (1  - sin²φ•sin²τ).

Ist das dasselbe wie Deine?

Möglicherwise nicht, denn Deine enthält noch einen Term mit α.

mfGn holdi

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Wenn α nicht mehr vorkommen soll ist zu substituieren

COS(α)^2 = 1/(1 + TAN²(α))
= 1/(1 + (COS(φ)·TAN(τ))^2)
= 1/(1 + COS²(φ)·TAN²(τ))

Setzen wir das in meine Ableitung ein

dα / dτ = COS(φ)·COS²(α) / COS²(τ)
= COS(φ)·1/(1 + COS²(φ)·TAN²(τ)) / COS²(τ)
= COS(φ) / (COS²(τ)·(1 + COS²(φ)·TAN²(τ)))
= COS(φ) / (COS²(τ) + COS²(φ)·SIN²(τ))
= COS(φ) / (1 - SIN²(τ) + COS²(φ)·SIN²(τ))
= COS(φ) / (1 - SIN²(τ)·(1 - COS²(φ)))
= COS(φ) / (1 - SIN²(τ)·SIN²(φ))

Das ist das, was die Musterlösung auch angibt.

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Danke, da das nun geprüft ist, kann ich meinen Mustwertext weiter lesen (hoffentlich kommt nicht so schnell der nächste Stolperstein).

Nochmals zu Obigem (Deine erste Antwort):
Du sagst, du hättest die Kettenregel angewendet.
Was das ist, habe ich mir jetzt wieder angeeignet.
Ich erkenne diese aber nicht.
Deine Schreibweise ist mir nicht bekannt.Was ist die äußere Funktion und deren Ableitung und was die innere?

mfGn holdi

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Ich erkenne diese aber nicht.

Sie wird ja auch nicht angewendet. Man sollte nicht alles glauben, was Menschen im Internet schreiben (bzw. immer alles kritisch hinterfragen). Hier findet die Quotientenregel Anwendung. Des Weiteren fehlt im ersten Schritt im Nenner auch das ² beim Cosinus.

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Apfelmännchen:

Danke für Dein Mitlesen.

Mir geht es um diese Zeile: 1/COS²(α) dα = COS(φ)·1/COS²(τ) dτ .

Diese Schreibweise mit   dα  und  dτ  als Multiplikanten ist mir noch nie vorgekommen.

Ich bitte Dich vielmals um Aufklärung.

mfGn holdi

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Apfelmännchen;

Nachtrag zum eben geschriebenen Post.

Der Mathecoach gibt zwei Differenzierungen an.

Zuerst allgemein für den tanx mit der Quotientenregel, was nicht direkt mein Anliegen war (steht in fast jeder Formelsammlung)

Dann differenziert er das, worum ich bat. Abgesehen vom Ergebnis, wofür ich vorzugsweise dankbar bin, möchte ich doch auch verstehen, wie es gemacht wurde. Meine noch offene Frage bezieht sich darauf (wie, welche Regel etc.)

mfGn holdi

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Achso, da.

Dann versuchs mal mit

\(\frac{d}{d\tau}(\tan(\alpha))=\frac{d}{d\tau}\tan(\alpha)\cdot\frac{d\alpha}{d\tau}\) (äußere mal innere Ableitung) bzw.

\(\frac{d}{d\tau}(\cos(\varphi)\tan(\tau))=\frac{\cos(\varphi)}{\cos^2(\tau)}\)

und setze gleich.

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Sorry für die Verwirrung. Natürlich meinte ich die Quotientenregel und nicht die Kettenregel. Ich habe den Begriff oben in meiner Antwort ausgetauscht.

SIN(x)/COS(x) ist ja ein Quotient und keine Verkettung.

Und man kann bei getrennten Variablen, die eine Seite der Gleichung zur einen Variablen ableiten und die andere Seite zur anderen Variablen. Das ist manchmal recht nützlich, wie du siehst.

Das Konzept nennt sich Regel der Trennung der Variablen und tritt auch bei Differenzialgleichungen auf.

Wonach abgeleitet wird steht dann als Term dahinter

Ich mache nochmal ein ganz ganz einfaches Beispiel

y = mx + b
1 dy = m dx

Forme ich das jetzt um erhalte ich das bekannte

dy / dx = m

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Wie ist denn dy eigentlich definiert?

Answer 2

Implizites Ableiten mit

\(F\big(\tau, \alpha(\tau)\big)=\tan\big(\alpha(\tau)\big)-\cos(\varphi)\tan(\tau)\)

ergibt

\(\displaystyle\alpha'(\tau)=-\frac{F_{\tau}\big(\tau, \alpha(\tau)\big)}{F_{\alpha}\big(\tau, \alpha(\tau)\big)}=\frac{\cos(\varphi)}{\cos^2(\tau)\cdot \frac{1}{\cos^2(\alpha(\tau))}}=\frac{\cos(\varphi)\cos^2\big(\alpha(\tau)\big)}{\cos^2(\tau)}\).