Wie zuverlässig ist der Zufall ? Gesetz der großen Zahlen

Question

Zwei Seiten einer Münze werden mit A für Abbildung und Z für Zahl definiert.

Schüler einer Klasse sollen 40 Mal zwei Münzen werfen und die möglichen Ergebnisse (AA , AZ und ZZ) aufschreiben. Anmerkung: Gleichzeitiges oder aufeinanderfolgendes Werfen ändert natürlich nichts am Ergebnis, diese Aussage habe ich in keinem Buch gefunden, wir haben also ein zweistufiges Zufallsexperiment.

Ich habe die Aufgabe auch durchgeführt, Ergebnis: AA→25 % ; AZ→40% ; ZZ→35 %. Die Abweichung zu den theoretischen 25%; 50%; 25% kommen mir groß vor. Also habe wiederholt, zweites Ergebnis: AA→32,5 % ; AZ→52,5% ; ZZ→15 %.

1. Frage:

Ist so eine Aufgabe geeignet, den Schülern das Verständnis für das theoretisch Ergebnis näherzubringen?

Das Experiment habe ich mit größeren Wurfzahlen wiederholt

Anzahl der Würfe	Ergebnis AA	Ergebnis AZ	Ergebnis ZZ
10²	28 %	47 %	25 %
10³	24,1 %	51,3 %	24,6 %
104	25,54 %	49,88 %	24,58 %
105	25,25 %	49,95 %	24,8 %

Bei einem Zeitbedarf von zwei Sekunden pro Wurf hätte allein das Werfen 62 Stunden gedauert, somit habe ich mir erlaubt, das mit Softwareunterstützung durchzuführen. Wiederholungen habe ich mir dennoch erspart.

2. Frage und das ist eigentlich mein Hauptanliegen:

Selbst bei den großen Wurfzahlen weicht das Ergebnis von den 25%; 50%; 25% deutlich ab. Beim Gesetz der großen Zahlen müssen es also sehr große Zahlen sein. Das ist alles kein Thema mehr für die Schüler aber mich als Maschinenbauingenieur im Ruhestand interessiert es doch sehr, was die Mathematik dazu sagt.

Dank für eure Beiträge.

Comments

Wenn die Wahrscheinlichkeiten auch bei kleineren Zahlen bereits näher am Erwartungswert wären, wäre es dann noch ein zufälliger Prozess? Ein strikter AZAZAZAZ...-Prozess hat wenig Entropie. Es gibt bspw. den Durbin-Watson-Test auf Autokorrelation bei Zeitreihen. Wenn unabhängig, dann kann man bei einer binären Folge einen Zustand der Länge 2 erwarten, bis er ändert.

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Nebenbei gesagt sind per SW generierte Zufallszahlen meistens nur pseudo-zufällig…

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Nebenbei gesagt sind per SW generierte Zufallszahlen meistens nur pseudo-zufällig…

Was heißt das genau? Wie entstehen solche Zahlen?

Wie kann man echte Zufallszahlen generieren?

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https://de.wikipedia.org/wiki/Zufallszahl

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Wie kann man echte Zufallszahlen generieren?

Mit unserem Physiklehrer am Gymnasium bastelten wir etwas mit einem Geigerzähler, angeschlossen an den Gameport eines Apple 2. Nach meiner Erinnerung wurde die erste Dezimale der Dauer in Sekunden zwischen zwei Knacken als Zufallsziffer gewonnen.

Oder so:

https://shop.tombotto.ch/wp-content/uploads/2023/05/283_gr_3.jpg

Oder moderner:

https://quantumnumbers.anu.edu.au/

Mein persönlicher Favorit:

https://www.valerionappi.it/brng-en/

Bekannt ist auch:

https://www.random.org

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Selbst bei den großen Wurfzahlen weicht das Ergebnis von den 25%; 50%; 25% deutlich ab.

Deutlich ist ja nun relativ. Die Strichprobe von \(n=10^5\) ist halt auch noch deutlich zu klein.

Answer 1

Das wird in der Oberstufe mit einem Hypothesentest gemacht.

Die Wahrscheinlichkeit von ZZ ist 1/4 = 0.25

Der Erwartungswert liegt bei 100 Würfen bei 25. Die Standardabweichung bei ca. 4.330.

Nahezu alle beobachteten Experimente sollten im 3-Sigma-Bereich stattfinden. D.h. ich erwarte

Die absolute Häufigkeit im Bereich

3 * 4.33 ≈ 13

[25 - 13, 25 + 13] = [12, 38]

und die relative Häufigkeit im Bereich

[12, 38]/100 = [0.12, 0.38]

Schreibe ich dass geornet für deine Werte von n auf erhalte ich

n = 10^2 ; [0.1200961894, 0.3799038105]
n = 10^3 ; [0.2089208081, 0.2910791918]
n = 10^4 ; [0.2370096189, 0.2629903810]
n = 10^5 ; [0.2458920808, 0.2541079191]

D.h. mit wachsendem n wird das Intervall, in dem die relative Häufigkeit von Doppelzahlen immer kleiner und stabilisiert sich damit um die theoretische Wahrscheinlichkeit.

Dank digitaler Hilfmittel müssten Schüler heute die zwei Münzen nicht mehr selber 100.000 Mal werfen, sondern sie bemühen einfach eine Simulationsapp oder coden sich eine im Informatikunterricht selber. In meinem Studium war eine der Aufgaben im 1. Semester, einen Zufallszahlengenerator zu programmieren und diesen mithilfe von Simulationen zu testen.

Im weiteren Verlauf der Vorlesung mussten wir unseren Generator dann benutzen, um andere Programmieraufgaben zu erfüllen. Z.B. Warteschlangenprobleme lösen.