Aloha :)
Die Behauptung lautet:$$A(n)=\sum\limits_{k=1}^n\frac{k}{2^k}\stackrel!=2-\frac{n+2}{2^n}$$
1) Verankerung bei \(n=1\):
Wir verankern die Induktion bei \(\pink{n=1}\), indem wir diesen Fall explizit durchrechnen:$$A(\pink n)=A(\pink 1)=\sum\limits_{k=1}^{\pink1}\frac{k}{2^k}=\frac{1}{2}=2-\frac32=2-\frac{\pink 1+2}{2^{\pink1}}=2-\frac{\pink n+2}{2^{\pink n}}\quad\checkmark$$
2) Induktionsschritt \(n\to n+1\)
$$A(\blue n+\pink1)=\sum\limits_{k=1}^{\blue n+\pink1}\frac{k}{2^k}=\blue{\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{k}{2^k}}+\pink{\frac{n+1}{2^{n+1}}}=\blue{A(n)}+\pink{\frac{n+1}{2^{n+1}}}$$
Die Gültigkeit von \(\blue{A(n)=2-\frac{n+2}{2^n}}\) haben wir bereits gezeigt, sodass wir die rechte Seite wie folgt vereinfachen können:$$A(\blue n+\pink1)=\blue{2-\frac{n+2}{2^n}}+\pink{\frac{n+1}{2^{n+1}}}=2-\frac{\green2\cdot(n+2)}{\green2\cdot2^n}+\frac{n+1}{2^{n+1}}$$$$\phantom{A(n+1)}=2-\frac{2n+4}{2^{n+1}}+\frac{n+1}{2^{n+1}}=2-\frac{(2n+4)-(n+1)}{2^{n+1}}=2-\frac{(\blue n+\pink1)+2}{2^{\blue n+\pink1}}\quad\checkmark$$
