Zeigen Sie, dass f bijektiv ist, und bestimmen Sie f^{-1}

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Abbildung f : N −→ N, die gegeben ist als
f(n) := (
n + 1, falls n ungerade ist,
n − 1, falls n gerade ist,
n ∈ N.
Zeigen Sie, dass f bijektiv ist, und bestimmen Sie f⁻¹ : N −→ N…

Problem/Ansatz:

Hallo, ich möchte nur wissen, ob mein Beweis gut ist, ich bin neu im Studium und weiß manchmal nicht ob meine Beweisideen gut genug sind. Also meine Lösung:

--> f injektiv:

Wenn f injektiv ist gilt: ∀n1,n2 ∈ ℕ: f(n1)=f(n2) → n1=n2

Angenommen es gilt f(n1)=f(n2) für n1≠n2: Sei nun n1,n2 ungerade: f(n1) = n1 + 1 und f(n2)= n2 +1 ; da f(n1)=f(n2) ist auch n1+ 1 = n2 + 1 ⇔ n1 = n2. Das ist ein Widerspruch, für f(n1)=f(n2) muss n1=n2 gelten, somit ist auch bewiesen das f injektiv ist.

--> f surjektiv:

Wenn f surjektiv gilt: ∀m ∈ ℕ: ∃n ∈ ℕ: f(n)=m

Setzt man für n ungerade: f(m-1) = (m-1)+1 = m, m ∈ ℕ → für ungerade n lässt sich jede Zahl m darstellen. Für n gerade; f(m+1)= (m+1)-1= m. für gerade n lässt sich ebenfalls jede Zahl m darstellen. Somit ist f auch surjektiv. Da f injektiv und surjektiv ist, ist f bijektiv.

f^-1 : N → N bestimmen:

f(n) :=

n - 1, falls n ungerade

n +1 falls n gerade

Comments

Zur Injektivität:

Du hast nicht argumentiert, wieso es reicht anzunehmen, dass \(n_1,n_2\) beide ungerade seien. Dass der Beweis für "\(n_1,n_2\) beide gerade" analog vonstattengeht (was du natürlich trotzdem auch irgendwo sagen musst!), was ist aber mit dem Fall, dass eins von beiden ungerade und das andere gerade ist?

Surjektiv:

Da sind einige Schreibfehler. Du führst ein \(n\) ein und benutzt es dann nie. Außerdem musst du ein bisschen aufpassen, einfach Funktionsterme anzugeben, ohne nochmal zu erwähnen, dass du jetzt im Fall "gerade" oder im Fall "ungerade" bist.

Dein behauptetes Inverses ist kein Inverses. Nimm doch mal \(n=5\), das ist ungerade, also ist \(f(5)=6\). Da das jetzt gerade ist, ist \(f^{-1}(f(5))=7\).

Wortwahl bei Injektiv/Surjektiv:

Du sagst: "Wenn \(f\) injektiv ist, dann gilt: \(\forall n_1,n_2\in\mathbb{N}:(f(n_1)=f(n_2)\implies n_1=n_2)\).", und hast das dann gezeigt. Wenn man dich jetzt beim Wort nimmt und ganz kleinkariert ist, dann hast du nachgerechnet, dass eine für Injektivität notwendige Eigenschaft gilt. Damit hast du über Injektivität keine Aussagekraft. Was du tatsächlich meinst, ist dass Injektivität äquivalent ist zu [...], also auch hinreichend. DAS ist die Rechtfertigung für deinen Beweis.

Wenn du diese Fehler verbesserst, dann sieht alles gut aus meiner Meinung nach. Mein eigener Ansatz wäre hier, den Beweis genau entgegengesetzt der Aufgabe zu führen. D.h. wir geben ein beidseitiges Inverses an, und daraus folgt die Bijektivität.

Wenn du dir die Funktion mal ganz genau anschaust, dann tauscht sie Zweierpäckchen. D.h. Die Funktion schickt \(1\) auf \(2\), \(2\) auf \(1\), \(3\) auf \(4\), \(4\) auf \(3\) usw. Wie du noch ganz oft überall benutzen wirst, sind solche Vertauschungen grundsätzlich selbstinvers. Es bietet sich hier also an, zu behaupten, dass \(f^2=\mathrm{id}_\mathbb{N}\), also \(f^{-1}=f\), was du leicht mit einer Fallunterscheidung überprüfen kannst. Bijektivität ist äquivalent zur Existenz eines beidseitigen Inversen, das ist hier gefunden, und du wärst fertig. Alles, was du zu tun hast, ist überprüfen, ob dieser Fakt bei euch auch vorkam.

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Erstmal vielen dank für deine sehr hilfreiche und ausführlich erklärte Antwort!!

Ich hab mir meine Lösung dann wieder angeschaut und korrigiert, für Injektivität habe ich eine Fallunterscheidung gemacht; unzwar für n1,n2 beide gerade/ungerade und für n1, n2 eins gerade und eins ungerade. Und somit gezeigt dass für f(n1)=f(n2), n1=n2 gelten muss (ich hoffe dass diesmal mein Ansatz etwas besser ist)

Bei surjektiv: ich verstehe was du meinst, merke selber da ist alles etwas durcheinander gewesen und macht als Beweis wenig Sinn.

Zur Umkehrabbildung: Also da habe ich selber gemerkt dass das nicht ganz so richtig ist, ich hab etwas gekrizzelt aber konnte das nicht so ganz als Endergebnis richtig notieren.

Aber du hast mir echt weiter geholfen, vielen dank!!!!

Answer 1

Für injektiv musst du zeigen, dass wenn für zwei allgemein beliebige Werte a,b aus dem Definitionsbereich (also i.d.F. IN) gilt:

f(a)=f(b) , dann a=b entspricht,

dies zeigst in dem du für jeden Fall die Werte allgemein in die Fkt einsetzt und dann umstellst, dass am Ende a=b rauskommt. Hier musst du dann Fallunterschied machen:

1. n ungerade: f(a)=f(b)

2a-1=2b-1 [plus 1 und dann durch 2 ergibt a=b], analog kannst du es dann für den Fall n = gerade selbst nachrechnen.

Edit: Es gibt noch den Fall a ungerade und b gerade, dann hätten wir f(a)=a+1 und f(b)=b-1, hier könntest du selbst mit Nachrechnen erkennen, dass f(a)=f(b) nicht ist, also Widerspruch und a und b müssen deswegen immer paarweise gerade bzw. ungerade sein. Das würde auch analog im gegenteiligen Fall (also a gerade und b ungerade ) sein.

Surjektiv: Hier kannst du so argumentieren:

wenn n ungerade ist, dann kannst du dafür setzen: n=2z-1 für z aus aus den positiven ganzen Zahlen, weil das die Definition ist für ungerade Zahlen. In die Fkt. einsetzen ergibt 2z-1+1=2z und das sind alle gerade Zahlen im Wertebreich, die von deren ungeraden Urbildern getroffen werden (f(1)=2,f(3)=4...) , umgekehert gilt für n gerade (=2z per Definition) 2z-1 , eingesetzt in die Fkt., das entspricht alle ungeraden Zahlen, die im Wertebereich von deren geraden Urbildern je 1mal getroffen werden, also alle ungerade Zahlen haben je 1 gerade Urbild und umgekehrt genauso. Nach der Logik werden also alle natürlichen Zahlen im Wertebereich je einmal aus deren natürlichen Urbilder getroffen und deswegen gilt per Definition , dass die Fkt. surjektiv ist. Das würde zB nicht sein, wenn f: IN nach IR gehen würde, weil die negativen rellen Zahlen kein Urbild hätten, dann wäre die Fkt. nur injektiv.

Und weil sie jetzt hier surjektiv und injektiv ist, ist diese nach Def. bijektiv.

Comments

Auch bei dir ist der Fall zur Injektivität unvollständig. Siehe Kommentar oben.

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Habe den Fall mit a ungerade und b gerade nachgebessert, ist das nun besser bzw. vollständig so?

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Das geht deutlich kürzer: da es keine Zahlen gibt, die sowohl gerade als auch ungerade zugleich sind, kann \(a=b\) gar nicht erfüllt werden.

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Danke für den tollen Ansatz, bei Injektivität habe ich das so korrigiert und bei Surjektivität war dein Ansatz echt hilfreich. Ich wusste nur nicht ob ich das bei Surjektiv richtig gemacht hatte indem ich für n entweder m+1 oder m-1(je nachdem ob gerade/unegarde) einsetze damit da m beliebig rauskommt

Answer 2

Betrachten Sie die Abbildung f : N → N, die gegeben ist als

f(n) := n + 1 ; also gerade, falls n ungerade ist,
f(n) := n - 1 ; also ungerade, falls n gerade ist,

Damit f(a) = f(b) gilt müssen a und b also jeweils gerade oder ungerade sein.

Machen wir dafür also eine Fallunterscheidung

Für a = b ungerade gilt:

a = b <==> a + 1 = b + 1 <==> f(a) = b(b) bzw.
a ≠ b <==> a + 1 ≠ b + 1 <==> f(a) ≠ b(b)

Für a = b gerade gilt:

a = b <==> a - 1 = b - 1 <==> f(a) = b(b)
a ≠ b <==> a - 1 ≠ b - 1 <==> f(a) ≠ b(b)

Damit ist f(n) injektiv und die Umkehrfunktion lautet

f^-1 : N → N
f^-1(n) := n - 1, wenn n gerade ist
f^-1(n) := n + 1, wenn n ungerade ist

Comments

Für a = b ungerade gilt:

a = b <==> a + 1 = b + 1 <==> f(a) = b(b) bzw.
a ≠ b <==> a + 1 ≠ b + 1 <==> f(a) ≠ b(b)

Für a = b gerade gilt:

a = b <==> a - 1 = b - 1 <==> f(a) = b(b)
a ≠ b <==> a - 1 ≠ b - 1 <==> f(a) ≠ b(b)

Das halte ich für fragwürdig.

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Ich halte auch den Einsteigssatz - "Damit..." für fragwürdig, auf jeden Fall für begründungspflichtig.

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Neben der fragwürdigen Aufmachung stellt sich auch wieder mal die Frage, warum man Dinge wiederholen muss, die schon gesagt wurden. Qualitativ finde ich die Antwort fast schlimmer als die Ausführungen des FS selbst.

Auch das zweite "Damit..." lässt ziemlich falsche Schlüsse zu, gerade für Studienanfänger.