Finde heraus, wie breit der Fluss ist.

Question

Aufgabe:

Ein 45 m hoher Aussichtsturm ist 12 m vom Flussufer entfernt; von der Turmplattform aus erscheint die Strecke \( \overline{\mathrm{AB}} \) unter einem Winkel \( \alpha \) der Größe \( 42^{\circ} \). Finde heraus, wie breit der Fluss ist.

Der abgebildete Quader soll 8 cm lang, 5 cm breit und 4 cm hoch sein. Berechne für jedes der getönten Dreiecke alle Seitenlängen und Winkelmaße.

Problem/Ansatz:

Ich habe für die Breite des Flusses 37,9 raus. Stimmt das ?

Bei der Aufgabe mit dem Quader komme ich nicht weiter. Ich hoffe mit kann jemand weiterhelfen

Comments

Wie weit kommst Du denn? Füge Deine Vorüberlegungen bei. Was genau ist unklar?

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Ich habe für die Breite des Flusses 37,9 raus. Ich weiß aber nicht ob das stimmt aber bei der anderen aufgäbe habe ich keinen Ansatzpunkt

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habe für die Breite des Flusses 37,9

Hinter die Zahl gehört auf jeden Fall noch eine Einheit, hier "Meter".

\(\displaystyle \angle{ARB} = \alpha= 42^\circ \)

\(\displaystyle \angle{PRA} = \arctan\left(\frac{12}{45}\right) \approx 14,93^\circ \)

\(\displaystyle \frac{12+\overline{AB\vphantom{\big|}}}{45} = \tan(14,93^\circ+42^\circ)  \approx 1,535754 \quad \Longleftrightarrow \quad \overline{AB\vphantom{\big|}} \approx 57,11 \, \text{m} \)

Winkel werden mit drei Buchstaben bezeichnet, indem man den Scheitelpunkt (in der Mitte) und zwei Punkte auf den Schenkeln verwendet. Die Reihenfolge erfolgt üblicherweise gegen den Uhrzeigersinn, beginnend auf einem Schenkel, über den Scheitelpunkt zum anderen Schenkel.

Answer 1

Ich komme für die Flussbreite auf was anderes. Welche Gleichungen hast Du verwendet?

Beim Quader bestimme die Länge der Bodendiagonale mit Pythagoras.

Comments

Breite des Flusses:

tan (alpha) = 45/(AB+12)

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Schau genau hin, \(\alpha\) ist nicht in einem rechtwinkligen Dreieck. Außerdem: Gegenkathete/Ankathete, nicht umgekehrt.

Dazu gehört noch ein Winkel \(\beta\), der direkt am Turm anliegt. Bestimme zuerst den, dann geht's mit \(\tan (\alpha +\beta)=\frac{AB+12}{45}\) weiter.

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Das verstehe ich nicht

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Was genau verstehst Du nicht?

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Wie ich das jetzt berechnen soll

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Weißt Du, was ein rechtwinkliges Dreieck ist? Und was \(\tan\) damit zu tun hat? Hast Du den Winkel \(\beta\) eingezeichnet und ein rechtwinkliges Dreieck dazu gefunden?

Answer 2

4.

tan(β) = 12/45 → β ≈ 14.93°
tan(14.93° + 42°) = x/45 → x ≈ 69.11
b = 69.11 - 12 ≈ 57.11 m

Quader

a)
a^2 = 8^2 + 5^2 → a = √89 cm
b = 4 cm
c^2 = 8^2 + 5^2 + 4^2 → c = √105 cm

b)
a = 8 cm
b^2 = 5^2 + 4^2 → b = √41 cm
c = c = √105 cm

Da a und b jeweils die Katheten und c die Hypotenuse ist, solltest du die Winkel, denke ich, berechnen können. Schaffst du das?

Comments

Ich weiß nicht wie ich die Winkeln berechnen soll

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In einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse c berechnet man die Winkel wie folgt:

γ = 90°
α = sin^-1(a / c)
β = sin^-1(b / c)

Answer 3

Unabhängig vom Titel Deiner Frage, und der falschen Berechnung der Flussbreite, willst Du offenbar Hilfe zu den Dreiecken im Quader.

Lese die eine Kathetenlänge des blauen Dreiecks in der Aufgabe. Berechne die andere Kathetenlänge mit dem Satz des Pythagoras aus den Quaderseitenlängen. Berechne dann die Hypotenusenlänge mit dem Satz des Pythagoras aus den Kathetenlängen... damit hast Du alle Seitenlängen. Für die beiden Winkel < 90° kann man die Definition des Sinus und die Arcussinus-Funktion verwenden.

Comments

Ich weiß nicht wie ich die Winkeln berechnen soll

Dazu habe ich geschrieben:

... kann man die Definition des Sinus und die Arcussinus-Funktion verwenden.

Das bedeutet:

\( \displaystyle \sin(\text{Winkel}) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \\\\ \Longrightarrow \quad \text{Winkel} = \arcsin\left( \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \right) \)

Beispiel:

\( \displaystyle \overline{AH\vphantom{\big|}} = \sqrt{4^2+5^2} =\sqrt{41} \)

\( \displaystyle \overline{AG\vphantom{\big|}} = \sqrt{41 + 8^2} =\sqrt{105} \)                        Länge der Hypotenuse

\( \displaystyle \overline{GH\vphantom{\big|}} = 8 \)                                                            Länge der Gegenkathete

\( \displaystyle \angle{GAH} = \arcsin\left(\frac{8}{\sqrt{105}}\right) \approx 51^\circ \)       Winkel bei Punkt A