Bestimmen Sie die Koordinaten von P mit Mitteln der Analysis.

Question

Aufgabe:

Der Kreis k mit Mittelpunkt M(0|0|4) und Radius 6 liegt in der Ebene E: x+y+4z=16.

Von allen Punkten auf k ist P derjenige mit der größten z-Koordinate.

Bestimmen Sie die Koordinaten von P mit Mitteln der Analysis.

Problem/Ansatz:

Mit Vektorrechnung kann ich die Aufgabe lösen. Wenn ich es aber mit Ebenengleichung und Kreisgleichung versuche, komme ich nicht weiter.

Comments

Du kommst zum Ziel, in dem Du ein Symmetrie Argument verwendest.

Sowohl Ebene als auch M sind invariant gegen Vertauschung von x und y. Damit kannst Du mit etwas Überlegung folgern, das für den gesuchten Punkt x=y gelten muß.

Das reduziert beide Gleichungen um eine Variable und mit Einsetzen kommst Du dann auf eine Quadratische Gleichung, die sich leicht lösen läßt.

Wäre die Ebenengleichung z.B. 2x+y+z=16, würde der Ansatz natürlich nicht funktionieren, also hier das ist wirklich ein Sonderfall.

---

Vielen Dank! Beim zweiten Versuch habe ich dann denselben Punkt wie mit Vektoren raus bekommen.

---

Ich muß hier noch mal nachfragen.

Ich hatte die Aufgabe ursprünglich gerechnet, indem ich den Normalenvektor der Ebene zerlegt habe in einen Anteil parallel zur z-Achse und einen innerhalb der Ebene. Den dann normiert und 6x abgetragen liefert den gewünschten Punkt.

So weit ok, aber jetzt gerade habe ich mich gefragt, woher man eigentlich weiß, dass die Komponente in der Ebene genau in die richtige Richtung (der höchsten Steigung) zeigt und nicht etwas rechts oder links vorbei? Das war mir damals irgendwie klar, dachte ich aber jetzt nicht mehr.

---

Der Normalenvektor zeigt parallel zur x-y-Ebene das größte Gefälle an. In entgegengesetzter Richtung hast du daher die größte Steigung.

M liegt in unserer Ebene. Gehe also vom Punkt M entlang des nach oben weisenden Normalenvektors und von dessen Spitze kannst du senkrecht nach unten gehen, bis du in der Ebene liegst.

F = [0, 0, 4] + [1, 1, 4] + [0, 0, z] = [1, 1, 8 + z]

1 + 1 + 4·(8 + z) = 16 → z = - 4.5

F = [1, 1, 8 - 4.5] = [1, 1, 3.5]

Der Vektor MF weißt in richtung des höchsten Gefälles und der Vektor FM entlang des höchsten Anstiegs.

FM = [0, 0, 4] - [1, 1, 3.5] = [-1, -1, 0.5]

Den normieren wir jetzt auf 6 und Tragen ihn von M ab.

P = [0, 0, 4] + 6/√(1^2 + 1^2 + 0.5^2)·[-1, -1, 0.5] = [- 4, - 4, 6]

Das wären jetzt allerdings nicht die Mittel der Analysis meiner Meinung nach.

Mach dir für das Verständnis eine Skizze mit Geogebra.

Answer 1

Ich würde es mit der Kugelgleichung anstatt Kreisgleichung versuchen, und erhalte P(-4│-4│6).

Comments

Ja, ich meinte die Kugelgleichung :-)

Aber wie hast Du das gerechnet?

---

So wie das Apfelmännchen.

Was man sich auch überlegen könnte ("mit Mitteln der Analysis"):

Ebenengleichung umgestellt nach y = 16 - x - 4z und das eingesetzt in Kugelgleichung ergibt

\(\displaystyle z = 4-\frac{4}{17}x + \frac{3}{17} \sqrt{68-2 x^{2}} \)

mit Maximum z = 6 bei x = -4.

Die y-Koordinate folgt dann bspw. aus der Ebenengleichung.

---

Vielen Dank, das rechne ich auch mal nach.

---

Oder:

\( \overrightarrow{MP} = \lambda \cdot \Bigg(\; \underbrace{\begin{pmatrix} 1\\1\\4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix}}_{\substack{\text{Normalenvektor} \\\\ \times \; \text{Höhenlinie}}} \; \Bigg) = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix}\)

mit \( \lambda = -1 \) so dass \( \mid \overrightarrow{MP} \mid = 6 \) und in z-Richtung aufwärts.

Die Koordinaten von \( P \) folgen aus \( \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MP} \)

---

Das erfüllt aber nicht die Anforderung der Aufgabe.

---

Ja. Die dritte Idee nicht.

---

Ich hatte mit der Projektion von e_z auf die Ebene gerechnet. Höhenlinie mußte ich erst mal nachlesen, clever.

Answer 2

Wie sieht dein Versuch denn aus?

Maximiere

\(f(x,y,z)=z\)

unter den Nebenbedingungen

\(g_1(x,y,z)=x+y+4z-16=0\) (Ebene)

und

\(g_2(x,y,z)=x^2+y^2+(z-4)^2-36=0\) (Kugel mit Radius 6)

Der Schnitt von Ebene und Kugel liefert nämlich den gesuchten Kreis.

Comments

Das Verfahren kenne ich nicht.

---

Extrema unter Nebenbedingungen mit der Lagrange-Methode ist nicht bekannt? In welchem Zusammenhang tritt denn dann die Aufgabe auf?

---

Abiturvorbereitung

---

Okay, dazu passt der obige Ansatz natürlich nicht, da Funktionen mehrerer Veränderlicher nicht im Abitur behandelt werden.

---

Du kannst solche wenig hilfreichen Antworten vermeiden (und den Helfern Zeit und Arbeit sparen), indem Du von Anfang an dabei sagst, wo die Aufgabe auftritt und vor allem deinen Rechenversuch beifügst. Letzteres fehlt weiterhin...

---

Ich hatte im Aufgabentext oben geschrieben:

‘Wenn ich es aber mit Ebenengleichung und Kreisgleichung (gemeint war Kugelgleichung, siehe Kommentar zu Antwort von Döschwo) versuche, komme ich nicht weiter.

Also habe ich genau die beiden Gleichungen g₁ und g₂ wie in Apfelmännchens Antwort aufgestellt und versucht, damit irgendwie weiter zu kommen, ohne Erfolg.

---

Du hast bisher nur gesagt, dass Du es versucht hast. Wo ist denn dein Versuch?

Daran kann man sehen, wie man dir am besten helfen kann.

Answer 3

Hier mit Mitteln der Analysis. Also Ableitung gleich Null setzen.

E: x + y + 4z = 16
M(0 | 0 | 4) ; r = 6

Kugelgleichung notieren
x^2 + y^2 + (z - 4)^2 = 36 --> x^2 + y^2 + z^2 - 8·z = 20

Ebenengleichung nach y auflösen, um y zu ersetzen.
x + y + 4·z = 16 --> y = 16 - x - 4·z

x^2 + (16 - x - 4z)^2 + z^2 - 8·z = 20 --> 2·x^2 + 8·x·z - 32·x + 17·z^2 - 136·z + 236 = 0

Wir können die Gleichung implizit nach z ableiten. und die Ableitung gleich Null setzen.

z'(x) = - Fx(x, z) / Fz(x, z) = 0
Fx(x, z) = 0
4·x + 8·z - 32 = 0 --> x = 8 - 2·z

Setzen wir auch dies in die Ebenengleichung ein, erhalten wir

2·(8 - 2·z)^2 + 8·(8 - 2·z)·z - 32·(8 - 2·z) + 17·z^2 - 136·z + 236 = 0
9·z^2 - 72·z + 108 = 0 --> z = 6 ∨ z = 2

Die höchste z-Koordinate wäre 6. Damit kann man jetzt z einsetzen, um x zu bestimmen.

x = 8 - 2·z = 8 - 2·(6) = - 4

Und am Ende können wir noch y bestimmen.

y = 16 - x - 4·z = 16 - (- 4) - 4·(6) = - 4

Der Punkt hat daher die Koordinaten P(-4 | -4 | 6)

Comments

Implizite Ableitung geht aber über den Stoffumfang des Abiturs hinaus.

Man könnte auch die Gleichung versuchen nach z aufzulösen. Aber das ist auch nicht schön.

Woher stammt die Aufgabe und soll es wirklich über die Analysis gemacht werden?