Bestimmen Sie den Stichprobenumfang

Question

Aufgabe:

Der Hersteller möchte erreichen, dass mehr als 99 % aller produzierten Bremssysteme fehlerfrei sind, und modernisiert seine Produktionsanlage. Um einen Anhaltspunkt dafür zu erhalten, ob dies erreicht wurde, plant er einen Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von 5 %. Dabei soll møglichst vermieden werden, dass intümlich davon ausgegangen wird, dass mehr als 99% aller Bremssysteme fehlerfrei sind. Der Hersteller wählt als Nullhypothese: „Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bremssystem fehlerfrei ist, beträgt höchstens 99 %."

Für einen bestimmten Stichprobenumfang gilt: Bei 2025 fehlerfreien Bremssystemen wird die Nullhypothese abgelehnt; bei 2024 fehlerfreien Bremssystemen wird die Nullhypothese nicht abgelehnt. Bestimmen Sie diesen Stichprobenumfang.

Problem/Ansatz:

Ich bin durch probieren auf n=2037 gekommen. Gibt es einen Weg, das zu berechnen ohne zu probieren?

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Ich habe auch probiert, und komme auf etwas anderes.

\( \displaystyle \sum\limits_{k=0}^{2024} \binom{2038}{k} \left(\frac{99}{100}\right)^k \left(1-\frac{99}{100}\right)^{2038-k} \approx 94 \% \)

\( \displaystyle \sum\limits_{k=0}^{2025} \binom{2038}{k} \left(\frac{99}{100}\right)^k \left(1-\frac{99}{100}\right)^{2038-k} \approx 97 \% \)

Wie hast Du probiert?

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Mit der Binomialverteilung, P(X ≥ 2025) = 0,0323 und P(X≥ 2024) = 0,0566 (immer gerundet)

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Muß es nicht entweder k oder n heißen?

Answer 1

Wenn man es vor dem Probieren mit der Normalverteilung annähert, dann liegt die Grenze zwischen Annahme- und Ablehnungsbereich bei µ+1,65σ (laut Tabelle gilt Φ(1,65)=0,95).

Ich würde deshalb \(2024,5=n\cdot 0,99 +1,65\cdot \sqrt{n\cdot 0,99\cdot 0,01}\) ansetzen.

Das Ergebnis n=2037,04 hat mich dazu veranlasst, n=2037 zu probieren. Das hat auf Anhieb geklappt, denn das Intervall ab 2024 hat dann die Wahrscheinlichkeit 0,0558, während das Intervall ab 2025 mit einer Wahrscheinlichkeit von nur 0,0323 getroffen wird.

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