Quadratische Ungleichung mit Bruch – Verständnisfrage
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Ausgehend von \( 9 y^{2}+31-27 y=(3 y+n)^{2} \) und \( y=\frac{n^{2}-31}{-27-6 n} \) oder \( y=\frac{31-n^{2}}{6 n+27} \) und y \( <3 \) gelange ich für den Fall, daß \( -27-6 n \) oder \( 6 n+27>0 \) zu \( n^{2}+18 n+50>0 \). Dafür kann ich mit einer p/q Formel zwei Werte berechnen. Da ich es jedoch immer etwas verwirrend finde, was man als </> zu setzen hat, schlug ich einen Faktorisierungsweg ein. Der ergibt \( (\mathrm{n}+9)^{2}-31>0 \).
Über \( [(\mathrm{n}+9)+\sqrt{31}][(\mathrm{n}+9)-\sqrt{31}] \) und \( \sqrt{31} \) grob \( =5 \frac{1}{2} \) (etwas genauer ist \( 5 \frac{3}{5} \) ) gelange ich \( \mathrm{zu}(\mathrm{n}+ \left.14 \frac{1}{2}\right)\left(\mathrm{n}+3 \frac{1}{2}\right) \). Nun soll \( \mathrm{n}^{2}+18 \mathrm{n}+50>0 \), d.h. entweder sind beide Faktoren positiv oder negativ.
D.h. \( \mathrm{n}+14 \frac{1}{2}>0 \) und \( \mathrm{n}>-14 \frac{1}{2} \) sowie \( \mathrm{n}+3 \frac{1}{2}>0 \) und \( \mathrm{n}>-3 \frac{1}{2} \). Für \( \mathrm{n}>-14 \) bzw. \( \mathrm{n}<-4 \) ist jedennoch \( 27+6 n<0 \), wie z.B. bei \( n=-7 \), selbst wenn \( y<3 \) und positiv. Denn \( \frac{31-49}{27-42}=\frac{-18}{-15}=\frac{6}{5}<3 \). Bei \( \mathrm{n}=20 \) oder \( \mathrm{n}=50 \) ist \( \mathrm{y}=-\frac{369}{147}<3 \) bzw. \( \mathrm{y}=-\frac{2469}{327}<3 \). Wohingegen \( \mathrm{n}=-4 \mathrm{y}>3 \) liefert. Nimmt man beide als negativ, also \( n+14 \frac{1}{2}<0 \) und \( n+3 \frac{1}{2}<0 \), mündet das in \( n<-14 \frac{1}{2} \) und \( n<-3 \frac{1}{2} \). Alsdann ist freilich \( 27+6 \) n auf jeden Fall negativ, wie bei \( \mathrm{n}=-5=\frac{6}{-3}=-2<3 \), während mit \( \mathrm{n}=-15 y=\frac{-194}{-63}=3 \frac{5}{63}>3 \). Muß man folglich für den Fall \( 0<n^{2}+18 n+50 \) festsetzen, daß \( n \geq-3 \), weil auch nur dann \( 0<n^{2}+ 18 n+50 \) ?
\( \begin{array}{l} -14 \frac{1}{2}<\mathrm{n}>-3 \frac{1}{2} \\ -14 \frac{1}{2}>n<-3 \frac{1}{2} \\ \mathrm{n}^{2}+18 \mathrm{n}+50>0 \text { und } n>\frac{-50}{n+18} \end{array} \)
Bei \( 0>\mathrm{n}^{2}+18 \mathrm{n}+50 \) hat man entweder \( n+14 \frac{1}{2}>0 \) und \( n+3 \frac{1}{2}<0 \) mit \( n>-14 \frac{1}{2} \) bzw. \( n<-3 \frac{1}{2} \) oder \( n+14 \frac{1}{2}<0 \) und \( n+3 \frac{1}{2}>0 \) mit \( n<-14 \frac{1}{2} \) bzw. \( n>-3 \frac{1}{2} \).
Bei \( -3 \frac{1}{2}>n>-14 \frac{1}{2} \) liegt n also zwischen -14 und -4 , wobei -4 noch zu groß ist. Bei \( -3 \frac{1}{2}<n<-14 \frac{1}{2} \) liegt aber doch ein Widerspruch vor, denn n kann ja nicht zugleich das eine und das andere sein. Fällt das daher nicht automatisch weg?
Eine Variation dieser Frage hatte ich bereits mal gepostet. Mußte zwischendurch Anderes abarbeiten. Jetzt in allgemeiner Form.
