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Aufgabe:

Beschreiben Sie einen Körper, dessen Volumen V man so berechnen kann:

V = π\( \int\limits_{0}^{5} \)22 - π\( \int\limits_{0}^{5} \)1,52

.Begründung, warum V =  π\( \int\limits_{0}^{5} \)(f(x)) - π\( \int\limits_{0}^{5} \)(g(x))2

                                             = π\( \int\limits_{0}^{5} \)((f(x))2 - (g(x))2 dx

                                     aber ≠ π\( \int\limits_{0}^{5} \)(f(x) - g(x))2 dx


Wäre nett, wenn ihr mir weiterhelfen könntet. :)

Problem/ Mein Ansatz:

- zwischen zwei Graphen rotierende Flächen(zwischen 0 und 5)

- Hohlkörper muss einzeln abgezogen werden

von

f = 2^2
f = 4
Dies wäre eine Gerade zur x-achse
im Abstand 4.

Bist du dir mit der Funktionsangabe sicher ?

Joa, habe allerdings dx vergessen.

siehe Mathe-Formelbuch,was du privat in jedem Buchladen bekommst.

Kapitel,Integralrechnung,Integrationsregeln,Grundintegrale,Anwendung der Integralrechnung

Volumen einen Rotationskörpers um die x-Achse

V=pi*∫y²*dx

bei dir V1=pi*∫2²*dx → y=f(x)=2=konstant → eine waagerechte Gerade parallel zur x-Achse

V2=pi*∫1,5²*dx → y=f(x)=1,5=konstant → eine waagerechte Gerade parallel zur x-Achse

Also ein Zylinder

Aber denkst du, dass man dafür auch eine Begründung abgeben könnte warum generell das nicht erlaubt ist.

Es geht nur um die Lösung von Aufgaben und nicht darum,was erlaubt ist.

Privat zu Hause kann man machen,was man will.

2 Antworten

+2 Daumen

Ein Zylinder, Länge 5, Außendurchmesser 4, Innendurchmesser 3.

Das nach "aber" ist ein Zylinder mit Durchmesser 1.

von 14 k

Also sollte man keine allgemeine Begründung abgeben, wieso π\( \int\limits_{0}^{5} \)(f(x) - g(x))2 dx nicht geht

Ich habe das Wort "allgemein" in der Aufgabenstellung nicht gefunden.

Danke. Meiner allerdings mit allgemein vor allem die Regeln zur Aufstellung des Rotationsvolumen.

Denkst du , dass explizit diese Begründung gesucht war?

Ich meine, es war das gefragt was ich beantwortet habe.

+1 Daumen

f(x)=2x  und g(x)=1,5x

\( A_{1}=\int \limits_{0}^{5} 2 x \cdot d x=\left[x^{2}\right]_{0}^{5}=25-0=25 \)
\( A_{2}=\int \limits_{0}^{5} \frac{3}{2} x \cdot d x=\left[\frac{3}{4} x^{2}\right]_{0}^{5}=3 \cdot \frac{25}{4}-0=\frac{75}{4} \)
Die von den beiden Funktionen eingeschlossene Fläche beträgt \( A=A_{1}-A_{2}=25-\frac{75}{4}=\frac{25}{4} \) Flächeneinheiten.
\( h(x)=f(x)-g(x)=2 x-1,5 x=0,5 x \)
\( A=\int \limits_{0}^{5} \frac{1}{2} x \cdot d x=\left[\frac{x^{2}}{4}\right]_{0}^{5}=\frac{25}{4}-0=\frac{25}{4} \)
Beide Wege ergeben die gleiche Größe der der eingeschlossenen Fläche.
\( V_{1}=\pi \cdot \int \limits_{0}^{5}(2 x)^{2} \cdot d x=\pi \cdot \int \limits_{0}^{5} 4 x^{2} \cdot d x=\pi \cdot\left[\frac{4}{3} x^{3}\right]_{0}^{5}=\frac{4}{3} \cdot 125 \cdot \pi=\frac{500}{3} \cdot \pi \)
\( V_{2}=\pi \cdot \int \limits_{0}^{5}\left(\frac{3}{2} x\right)^{2} \cdot d x=\pi \cdot \int \limits_{0}^{5} \frac{9}{4} x^{2} \cdot d x=\pi \cdot\left[\frac{9}{4 \cdot 3} x^{3}\right]_{0}^{5}=\pi \cdot\left[\frac{3}{4} x^{3}\right]_{0}^{5}=\frac{3}{4} \cdot 125 \cdot \pi=\frac{375}{4} \cdot \pi \)
\( V_{1}-V_{2}=\frac{500}{3} \cdot \pi-\frac{375}{4} \cdot \pi=\frac{875}{12} \cdot \pi \)
Das von den beiden Funktionen eingeschlossene Volumen beträgt \( \frac{875}{12} \cdot \pi \) Raumeinheiten.
\( h(x)=f(x)-g(x)=2 x-1,5 x=0,5 x \)
\( V=\pi \cdot \int \limits_{0}^{5}\left(\frac{1}{2} x\right)^{2} \cdot d x=\pi \cdot \int \limits_{0}^{5} \frac{1}{4} x^{2} \cdot d x=\pi \cdot\left[\frac{1}{12} x^{3}\right]_{0}^{5}=\frac{1}{12} \cdot 125 \cdot \pi \)
Nun ist \( \frac{875}{12} \cdot \pi \neq \frac{1}{12} \cdot 125 \cdot \pi \)
Somit ist der Weg nicht zielführend.





von 10 k

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