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Aufgabe:

Beschreiben Sie einen Körper, dessen Volumen V man so berechnen kann:

V = π05 \int\limits_{0}^{5} 22 - π05 \int\limits_{0}^{5} 1,52

.Begründung, warum V =  π05 \int\limits_{0}^{5} (f(x)) - π05 \int\limits_{0}^{5} (g(x))2

                                             = π05 \int\limits_{0}^{5} ((f(x))2 - (g(x))2 dx

                                     aber ≠ π05 \int\limits_{0}^{5} (f(x) - g(x))2 dx


Wäre nett, wenn ihr mir weiterhelfen könntet. :)

Problem/ Mein Ansatz:

- zwischen zwei Graphen rotierende Flächen(zwischen 0 und 5)

- Hohlkörper muss einzeln abgezogen werden

Avatar von

f = 22
f = 4
Dies wäre eine Gerade zur x-achse
im Abstand 4.

Bist du dir mit der Funktionsangabe sicher ?

Joa, habe allerdings dx vergessen.

siehe Mathe-Formelbuch,was du privat in jedem Buchladen bekommst.

Kapitel,Integralrechnung,Integrationsregeln,Grundintegrale,Anwendung der Integralrechnung

Volumen einen Rotationskörpers um die x-Achse

V=pi*∫y²*dx

bei dir V1=pi*∫2²*dx → y=f(x)=2=konstant → eine waagerechte Gerade parallel zur x-Achse

V2=pi*∫1,5²*dx → y=f(x)=1,5=konstant → eine waagerechte Gerade parallel zur x-Achse

Also ein Zylinder

Aber denkst du, dass man dafür auch eine Begründung abgeben könnte warum generell das nicht erlaubt ist.

Es geht nur um die Lösung von Aufgaben und nicht darum,was erlaubt ist.

Privat zu Hause kann man machen,was man will.

2 Antworten

+1 Daumen

Ein Zylinder, Länge 5, Außendurchmesser 4, Innendurchmesser 3.

Das nach "aber" ist ein Zylinder mit Durchmesser 1.

Avatar von 47 k

Also sollte man keine allgemeine Begründung abgeben, wieso π05 \int\limits_{0}^{5} (f(x) - g(x))2 dx nicht geht

Ich habe das Wort "allgemein" in der Aufgabenstellung nicht gefunden.

Danke. Meiner allerdings mit allgemein vor allem die Regeln zur Aufstellung des Rotationsvolumen.

Denkst du , dass explizit diese Begründung gesucht war?

Ich meine, es war das gefragt was ich beantwortet habe.

+1 Daumen

f(x)=2x  und g(x)=1,5x

A1=052xdx=[x2]05=250=25 A_{1}=\int \limits_{0}^{5} 2 x \cdot d x=\left[x^{2}\right]_{0}^{5}=25-0=25
A2=0532xdx=[34x2]05=32540=754 A_{2}=\int \limits_{0}^{5} \frac{3}{2} x \cdot d x=\left[\frac{3}{4} x^{2}\right]_{0}^{5}=3 \cdot \frac{25}{4}-0=\frac{75}{4}
Die von den beiden Funktionen eingeschlossene Fläche beträgt A=A1A2=25754=254 A=A_{1}-A_{2}=25-\frac{75}{4}=\frac{25}{4} Flächeneinheiten.
h(x)=f(x)g(x)=2x1,5x=0,5x h(x)=f(x)-g(x)=2 x-1,5 x=0,5 x
A=0512xdx=[x24]05=2540=254 A=\int \limits_{0}^{5} \frac{1}{2} x \cdot d x=\left[\frac{x^{2}}{4}\right]_{0}^{5}=\frac{25}{4}-0=\frac{25}{4}
Beide Wege ergeben die gleiche Größe der der eingeschlossenen Fläche.
V1=π05(2x)2dx=π054x2dx=π[43x3]05=43125π=5003π V_{1}=\pi \cdot \int \limits_{0}^{5}(2 x)^{2} \cdot d x=\pi \cdot \int \limits_{0}^{5} 4 x^{2} \cdot d x=\pi \cdot\left[\frac{4}{3} x^{3}\right]_{0}^{5}=\frac{4}{3} \cdot 125 \cdot \pi=\frac{500}{3} \cdot \pi
V2=π05(32x)2dx=π0594x2dx=π[943x3]05=π[34x3]05=34125π=3754π V_{2}=\pi \cdot \int \limits_{0}^{5}\left(\frac{3}{2} x\right)^{2} \cdot d x=\pi \cdot \int \limits_{0}^{5} \frac{9}{4} x^{2} \cdot d x=\pi \cdot\left[\frac{9}{4 \cdot 3} x^{3}\right]_{0}^{5}=\pi \cdot\left[\frac{3}{4} x^{3}\right]_{0}^{5}=\frac{3}{4} \cdot 125 \cdot \pi=\frac{375}{4} \cdot \pi
V1V2=5003π3754π=87512π V_{1}-V_{2}=\frac{500}{3} \cdot \pi-\frac{375}{4} \cdot \pi=\frac{875}{12} \cdot \pi
Das von den beiden Funktionen eingeschlossene Volumen beträgt 87512π \frac{875}{12} \cdot \pi Raumeinheiten.
h(x)=f(x)g(x)=2x1,5x=0,5x h(x)=f(x)-g(x)=2 x-1,5 x=0,5 x
V=π05(12x)2dx=π0514x2dx=π[112x3]05=112125π V=\pi \cdot \int \limits_{0}^{5}\left(\frac{1}{2} x\right)^{2} \cdot d x=\pi \cdot \int \limits_{0}^{5} \frac{1}{4} x^{2} \cdot d x=\pi \cdot\left[\frac{1}{12} x^{3}\right]_{0}^{5}=\frac{1}{12} \cdot 125 \cdot \pi
Nun ist 87512π112125π \frac{875}{12} \cdot \pi \neq \frac{1}{12} \cdot 125 \cdot \pi
Somit ist der Weg nicht zielführend.





Avatar von 42 k

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