Question

Faktorisierungsbasierte Gleichungslösung

Text erkannt:

Ausgehend von einer einfachen Gleichung wie \( 7-2 \mathrm{x}=0 \) und der erstmal einfachsten Lösung \( 7=0 \) +2 x und \( \frac{7}{2}=x \) überlegte ich, wie ich \( 7-2 \mathrm{x}=0 \) faktorisiert lösen kann. Einmal fiel mir \( \frac{14}{2}\left(1-\frac{2}{7} x\right)=0 \) ein. Mit \( x=\frac{7}{2} \) gilt die Gleichung und ich kann ja auch nur den Faktor \( 1-\frac{2}{7} x=0 \) setzen. Alsdann dachte ich noch an das Schema \( a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b) \) und ging \( \operatorname{von}(\sqrt{7})^{2}-(\sqrt{2 x})^{2} \) aus. Das ergibt \( (\sqrt{7}+\sqrt{2 x})(\sqrt{7}-\sqrt{2 x}) \).
\( \begin{array}{l} \sqrt{7}-\sqrt{2 x}=0 \\ \sqrt{7}=\sqrt{2 x}=\sqrt{x} * \sqrt{2} \\ \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}=\sqrt{x} \text { und } \frac{7}{2}=x \end{array} \)

Wie ist es mit \( \sqrt{7}+\sqrt{2 x}=0 \) ?
\( \begin{array}{l} \sqrt{7}=-\sqrt{2 x}=-\sqrt{x} * \sqrt{2} \vee-\sqrt{2} * \sqrt{x} \\ \left.\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}=-\sqrt{x} \right\rvert\, *-1 \\ -\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}=\sqrt{x} \vee \sqrt{7}=-\sqrt{2} * \sqrt{x} . \end{array} \)

Damit \( \sqrt{7}+\sqrt{2 x}=0 \), nuß ich x offenkundig ebenfalls \( =\frac{7}{2} \), aber den ganzen Term negativ nehmen: \( \sqrt{7}+\left(-\sqrt{2 * \frac{7}{2}}\right)=0 \). Ist diese Variante überhaupt erforderlich bzw. möglich?
Bei \( -\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}=\sqrt{x} \) ergäbe eine Quadrierung ja auch \( \frac{7}{2}=x \). Rechne ich so, müßte ich das Minuszeichen irgendwie isolieren und vor die Wurzel setzen. Denn damit so etwas wie \( \mathrm{a}+\mathrm{b}=0 \), muß ja ein Glied negativ sein. Eine Quadratwurzel ist das jedoch erstmal nicht.

Comments

Die Operation "Quadratwurzelziehen" ergibt per Definition eine nichnegative Zahl.

Answer 1

$$ 7-2 \mathrm{x}=0 \quad\Leftrightarrow\quad\left(\dfrac{7}{2}-x\right)\cdot 2 = 0 $$

Answer 2

√7 + √(2x) = 0

Das geht nicht, da die Wurzel als diejenige nichtnegative Zahl definiert ist, deren Quadrat den Term unter der Wurzel ergibt. Damit ist eine Wurzel nie negativ.

Die Summe aus zwei Wurzeln kann daher nur 0 sein wenn beide Wurzeln 0 wären. Da √7 bereits großer als Null ist kann es keine Lösung geben.

√7 + √(2x) = 0
√(2x) = - √7

Hier gibt es auch direkt einen Widerspruch, weil die Wurzel der linken Seite nie - √7 (negativ) sein kann.