Wie bewegt sich der Hochpunkt?

Question

Aufgabe:

Unser Lehrer hat uns folgende Aufgabe für die Vorbereitung zur zentralen Klausur gegeben:

Gegeben ist die ganzrationale Funktion \( f \) mit
\( f(x)=-0,16 \cdot x^{3}+0,8 \cdot x^{2}, x \in \mathbb{R} . \)

Für jedes \( a \in \mathbb{R}^{+} \)wird durch die Gleichung \( f_{a}(x)=\frac{1}{a} \cdot f(a \cdot x), x \in \mathbb{R} \), eine Funktion \( f_{a} \) festgelegt.
In den folgenden Abbildungen 1 bis 3 sind Möglichkeiten für den Weg dargestellt, auf dem sich der lokale Hochpunkt von \( f_{a} \) bewegt, wenn \( a \) vergrößert wird.

Genau eine dieser drei Möglichkeiten ist zutreffend. Geben Sie an, in welcher Abbildung die zutreffende Möglichkeit dargestellt ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe leider überhaupt keine Idee, wie ich das angehen kann. Wie kommt man auf diese Kurven?

Comments

Hier ändert a im Intervall (0, 2]:

Answer 1

Mache dir einmal klar, um was für Arten von Transformationen eines Funktionsgraphen es sich handelt, die bei der Berechnung \(\frac{1}{a}\cdot f(a\cdot x)\) durchgeführt werden. Dann kannst du dir überlegen, wie sich das auf einen beliebigen Punkt, in diesem Falle also auch auf den Hochpunkt auswirkt.

1) Was passiert mit dem Graphen einer Funktion, wenn man \(f(a\cdot x)\) berechnet für \(a>0\) und größer werdendes \(a\)?

2) Was passiert mit dem Graphen einer Funktion, wenn man \(\frac{1}{a}\cdot f(x)\) berechnet für \(a>0\) und größer werdendes \(a\)?

3) Was passiert, wenn man diese beiden Transformationen kombiniert?

Answer 2

Wichtig ist, zu verstehen, was die Parameter in der Funktion tun. Die Faktoren a, b > 0 in

y = a * f(b * x)

sorgen für eine Streckung in x- und y-Richtung. Dabei wird die Funktion mit dem Faktor 1/b in x-Richtung gestreckt und mit dem Faktor a in y-Richtung gestreckt.

Bei deiner Funktion

y = 1/a * f(a * x) ; a > 0

mit dem Hochpunkt bei (Hx, Hy) für a = 1

Für den Parameter a ≠ 1 wird die Funktion mit dem Faktor 1/a in x-Richtung und mit dem Faktor 1/a in y-Richtung gestreckt.

Damit hat der neue Hochpunkt die Koordinaten (Hx/a | Hy/a).

Damit bewegt sich der Hochpunkt auf einer Ursprungsgeraden.

Comments

Genau, nimm den Leuten das selbstständige Nachdenken wieder ab. Schlimmer als KI.

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Hier habe ich die Funktion für a ∈ {1, 2, 3, 4, 5} gezeichnet bzw. zeichnen lassen.

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Vielen Dank an alle, da wäre ich nie selber drauf gekommen und verstehe es immer noch nicht ganz genau, aber die Skizzen helfen. Danke.

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Der Einfluss der Parameter wird mehrfach im Unterricht behandelt. Am ausführlichsten wird das meist im Rahmen der trigonometrischen Funktionen wie z.B. der allgemeinen Sinusfunktion

y = a * sin(b * (x + c)) + d gemacht.

gemacht. Evtl. kannst du da in deinem Merkheft nochmals nachlesen, wie das genau war. Also, wie sieht die Funktion

y = 1/a * sin(a * x)

für a > 0 aus. Wie liegen z.B. die Extrempunkte oder Wendepunkte zueinander im Vergleich.