Bestimmen Sie alle z ∈ C die kein Bild in C haben.

Question

Aufgabe:

Es sei T eine Möbius-Transformation, gegeben durch $$T(z)= \frac{az+b}{cz+d}=w$$
wobei a, b, c, d komplexe Zahlen mit $$ad − bc \neq 0$$ und $$c \neq 0$$ sind.
a) Bestimmen Sie alle z ∈ C die kein Bild in C haben.
b) Bestimmen Sie alle w ∈ C die kein Urbild in C haben.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe leider die Aufgabenstellung nicht ganz, vielleicht kann mir jemand auf die Sprünge helfen.

Ich habe die Aufgabe erstmal so interpretiert, dass ich T(z) finden soll die nicht auf C abbilden, also $$\infty$$

a)

cz+d=0

$$z=-\frac{d}{c}$$

b)

$$w=\frac{az+b}{cz+d}$$

Umstellen nach z liefert mir:

$$z=\frac{-wd+b}{wc-a}$$

wc-a = 0

$$w=\frac{a}{c}$$

Das ganze kommt mir zu simpel vor, außerdem ist von allen z die Rede und ich habe nur einen Punkt jeweils gefunden.

Vielen Dank im Voraus.

Comments

Paßt schon …

Answer 1

Deine Ergebnisse sind richtig, aber ganz sauber begründet ist das noch nicht. Und genau diese Feinheiten machen solche Aufgaben dann eben nicht mehr so "simpel".

Bei a) suchst du die Stellen, an denen \(T(z)\) nicht in \(\mathbb C\) liegt. Das passiert genau dann, wenn der Nenner verschwindet, also \(cz+d=0\). Wegen \(c\neq 0\) hat das genau die Lösung \(z=-\frac dc\).

Bei b) setzt du \(w=\frac{az+b}{cz+d}\) und stellst nach \(z\) um. Dann gilt \(w(cz+d)=az+b\), also \((wc-a)z=b-wd\). Falls \(wc-a\neq 0\), gibt es eindeutig ein Urbild, nämlich \(z=\frac{b-wd}{wc-a}\).

Problematisch ist daher nur \(wc-a=0\), also \(w=\frac ac\). Für dieses \(w\) ist aber \(b-wd=b-\frac acd=\frac{bc-ad}{c}\neq 0\), da \(ad-bc\neq 0\). Also gibt es für \(w=\frac ac\) tatsächlich kein Urbild.

Dass jeweils nur ein Punkt herauskommt, ist kein Widerspruch. „Alle“ heißt hier nicht, dass es mehrere sein müssen, sondern dass du die gesamte Menge solcher Punkte angeben sollst. Diese Menge kann eben auch nur aus einem einzigen Punkt bestehen.