Wurzelausdruck vereinfachen (mit absolutem Betrag)

Question

Warum ist \( \sqrt[4]{x^{6}} \) = |x| × \( \sqrt{|x|} \)

Man kann diesen Ausdruck umschreiben in \( \sqrt[4]{x^{4} × x^{2}} \)

\( \sqrt[4]{x^{4}} \) × \( \sqrt[4]{x^{2}} \)

|x| × \( \sqrt[4]{x^{2}} \)

Laut meinem Verständnis, setzt man Variablen nur dann in Betragsstrichen, wenn der Index gerade ist und die Variable einen ungeraden Exponenten besitzt. (nachdem sie gezogen worden ist)

Wie kommt man allerdings auf den Betrag in der Wurzel? Die Variable ist noch in der Wurzel und nicht gezogen worden?

\( \sqrt[4]{x^{2}} \) = \( x^{\frac{2}{4}} \)= \( x^{\frac{1}{2}} \) = \( \sqrt{x} \)

Meine Lösung war:

|x| × \( \sqrt{x} \)

Comments

Und was ist dann mit z.B. x = -2?

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Bei \( \sqrt[4]{x^6} \) macht das "hoch 6" ja, dass der Operand immer nichtnegativ gemacht wird.

Wenn man dann Exponent und Index kürzt und schreibt \( x^{3/2} \; (= x \cdot \sqrt{x}) \) dann muss man den Fall eines negativen Operanden nicht nur beim ersten Faktor berücksichtigen, so wie Du das getan hast, sondern auch beim Radikanden.

Answer 1

Bedenke

\( \sqrt[4]{x^2}=\sqrt{\sqrt{x^2}}=\sqrt{|x|}\) für \(x \in \mathbb{R} \).

Deine Umformung unten gilt nur für \(x \geq 0 \).