Bananenscheiben im Bananenbrot

Question

Aufgabe:

(Diskrete Verteilung)

Ein Bäcker backt 100 Bananenbrote. In den Teig verteilt er zufällig 400 Bananenscheiben. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit,

a) dass ein zufällig ausgewähltes Bananenbrot zwischen zwei und sechs Bananenscheiben (einschließlich) enthält,

b) dass Sie ein Bananenbrot ohne Bananenscheiben erwischen.

Problem/Ansatz:

Bei a komme ich auf 79,8% gerundet aber wie lösen ich die b habt ihr einen Denkanstoß?

Comments

Wie hast Du a berechnet? B geht nach dem gleichen Prinzip

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b) Poisson-Verteilung

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b) Binomialverteilung wenn es exakt sein soll.

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Also einfach

\( \frac{4^0 * e^^-4}{0!} \) ?

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Oder exakt: 0,99⁴⁰⁰

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Wäre meins dann falsch?

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Es wäre eine Näherung, die bei b) aber unnötig ist, da man nur einen einzigen, einfachen Term der Binomialverteilung berechnen muß.

Bei a) sieht das anders aus - wenn man denn keine elektronischen Hilfsmittel benutzen darf. Wenn man das darf, kann man natürlich auch a) ohne Näherung durch die Poisson-Verteilung mittels Binomialverteilung bestimmen.

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Dann rechne mal Potenzen von \( \mathrm{e} \) ohne Hilfsmittel aus.

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Dann rechne mal Potenzen von e ohne Hilfsmittel aus.

Oben wurde von vermutlich sehr bewusst von elektronischen Hilfsmitteln gesprochen.

Das schließt Tabellenwerke nicht mit ein.

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Da hier die Poisson-Verteilung und Formeln dazu erwähnt worden sind: Wenn man Poisson verwendet, dann muss man nicht rechnen. Wenn man rechnet, dann muss man nicht die Poisson-Verteilung verwenden. Wenn man Poisson verwendet, kann man die Antwort in der Tabelle bei \( \lambda=4 \) ablesen:

a) 0,889 - 0,092 = 0,797

b) 0,018

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@döschwo Dürfte ich den Grund, für die Bearbeitung meines Beitrags erfahren. d

Der Titel war eigentlich ganz gut gewählt, jetzt ist das Thema in der Überschrift nicht mehr zu erkennen, sondern gibt nur den Spoiler, dass es im meiner Frage um Bananen geht?

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Hallo Maxi, der Titel war irgendwie beliebig, es gibt hier sicher tausende Aufgaben wo nach Wahrscheinlichkeiten bei einer diskreten Verteilung gefragt wird. Da dachte ich, die Aufgabe sei so besser wiederauffindbar. Es geht auch darum, dass alle Bananenbrot-Aufgaben miteinander dargestellt werden, wenn sonst noch jemand mit so einer Aufgabe kommt, was öfters im Jahresrhythmus geschieht, weil die Lehranstalten nicht jedes Jahr neue Aufgaben erfinden. Und das Schlagwort war wieder falsch. Aber da Du die Auffassung vertrittst, dass "der Titel ... eigentlich ganz gut gewählt" war, werde ich ihn auf Wunsch gerne wieder herstellen, klar doch.

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@döschwo Dürfte ich den Grund, für die Bearbeitung meines Beitrags erfahren. d

Mit der causa Banane hast du bei döschwo einfach einen Pawlowschen Reflex ausgelöst.

(Konntest du nicht wissen.)

Eingeweihte Kreise munkeln, dass die Schweizer nicht nur Ricola, sondern auch die Banane erfunden haben. Sie wurde dann in einer schaukelnden französischen Ente nach Guatemala geschmuggelt. (Oder war es die andere Bananenrepublik Österreich?)

Answer 1

Du brauchst bei b) dieselbe Zufallsvariable wie bei a). Es sei \(X\) die Anzahl der Bananenscheiben in einem zufällig ausgewählten Brot. Dann gilt \(X\sim B(400;0{,}01)\), wenn jede Scheibe zufällig auf eines der \(100\) Brote verteilt wird.

„Keine Bananenscheibe“ bedeutet einfach \(X=0\). Also setzt du in der Binomialverteilung \(k=0\):$$P(X=0)=\binom{400}{0}\cdot 0{,}01^0\cdot 0{,}99^{400}=0{,}99^{400}$$

Das ergibt ungefähr \(0{,}018\), also etwa \(1{,}8\,\%\).

Answer 2

a) dass ein zufällig ausgewähltes Bananenbrot zwischen zwei und sechs Bananenscheiben (einschließlich) enthält,

n = 400 ; p = 1/100 = 0.01

μ = 400·0.01 = 4

P(2 ≤ X ≤ 6) = ∑ (x = 2 bis 6) ((400 über x)·0.01^x·0.99^(400 - x)) ≈ 0.7999
P(2 ≤ X ≤ 6) ≈ ∑ (x = 2 bis 6) (4^x/x!·e^-4) ≈ 0.7977

b) dass Sie ein Bananenbrot ohne Bananenscheiben erwischen.

P(X = 0) = 0.99^400 ≈ 0.0180
P(X = 0) ≈ 4^0/0!·e^(-4) ≈ 0.0183

Comments

P(X = 0) = 0.99400 ≈ 0.0180

P(X = 0) ≈ 40/0!·e^(-4) ≈ 0.0183

Kurze Frage bezüglich den beiden Lösungen, woher weiß mam in der Prüfung welche Art von Rechnung man da jtz verwenden soll da beide Ergebnise ja voneinander abweichen?

P(X = 0) = 0.99400 ≈ 0.0180

Auf das hier wäre ich nicht gekommen sonder auf die untere Lösung

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Das obere ist die Berechnung mit der exakten Binomialverteilung, das untere ist die Berechnung über die Näherung mit der Poissonverteilung.

Da in der Aufgabe keine Methode vorgegeben ist habe ich mir erlaubt beide Verfahren hier zu benutzen.

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woher weiß mam in der Prüfung welche Art von Rechnung man da jtz verwenden soll da beide Ergebnise ja voneinander abweichen?

Da ein gewisser Herr mal wieder die gestellte Frage ignoriert:

In einer guten Prüfungsaufgabe steht das drin. Ansonsten würde ich immer die exakte Variante wählen und nie die Näherung, solange die Aufgabe das nicht vorgibt. Da man diese Aufgabe wunderbar mit der Binomialverteilung lösen kann, ist eine Näherung über die Poisson-Verteilung nicht notwendig und gäbe aus meiner Sicht auch keine volle Punktzahl.

Im Zweifel solltest du da aber auch immer die Verantwortlichen fragen. Das ist entweder der Dozent selbst oder ein entsprechender Tutor, der die Veranstaltung betreut.

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Auch ich würde prinzipiell immer die exakte Verteilung nehmen. Daher habe ich die Binomialverteilung genommen. Aber da hier vor allem der Fragesteller auch die Poissonverteilung ins Spiel gebracht hat, habe ich das damit auch gemacht.

Und wir wissen nicht worum es in der Lerneinheit ging.

Wenn der Fragesteller die Poissonverteilung kennt und weiß, dass man hier die Binomialverteilung über die Poissonverteilung nähern darf, wäre das denke ich völlig ok, wenn man das auch mal anwendet. Im Zweifel darf der Fragesteller auch beide Verteilungen nehmen. Gerade wenn man die Binomialverteilung nicht so sicher kann.