Mathe-Gleichung gesucht: Wie verarbeite ich viele Daten zu einem Integral und einer Funktion?

Question

Aufgabe:

Die Freisetzungsrate (in mg/h) in den Blutkreislauf wurde an einem Nachmittag durch drei unabhängige Messverfahren erfasst:

Verfahren Alpha: Es wurden lediglich zwei Stichproben genommen. Um 14:00 Uhr betrug die Rate 5,1 mg/h und um 16:00 Uhr lag sie bei 10,7 mg/h.

Verfahren Beta: Die Erfassung erfolgte stündlich. Die gemessenen Raten lagen bei 3,2 mg/h um 13:30 Uhr, 6,8 mg/h um 14:30 Uhr, 9,3 mg/h um 15:30 Uhr sowie 10,5 mg/h um 16:30 Uhr.

Verfahren Gamma: Hier wurde im Halbstundentakt gemessen. Die Aufzeichnung startete um 13:15 Uhr mit 2,2 mg/h. Die darauffolgenden Werte waren 4,4 mg/h (13:45 Uhr), 6,7 mg/h (14:15 Uhr), 8,3 mg/h (14:45 Uhr), 9,4 mg/h (15:15 Uhr), 10,1 mg/h (15:45 Uhr), 10,2 mg/h (16:15 Uhr) und abschließend 9,6 mg/h um 16:45 Uhr.

Ziele:

Berechne eine geeignete Näherungsfunktion, die den zeitlichen Verlauf der Wirkstofffreisetzung modelliert.

Ermittle anschließend, wie sich mithilfe der Integralrechnung die im betrachteten Zeitraum insgesamt in den Körper freigesetzte Wirkstoffmenge näherungsweise bestimmen lässt.

Problem/Ansatz: Man weiß nicht welche Funktion, welcher Weg überhaupt verlangt wird

Comments

Wenn Du bei α) nur zwei Messwerte hast, wie wird man dann den Verlauf dazwischen wohl modellieren?

Bei 4 Punkten könnte man eine kubische Funktion genau durch die Punkte legen, ist aber rechenaufwendiger.

Man könnte natürlich auch einfach die Messpunkte jeweils geradlinig verbinden.

Alternativ wären auch lineare oder quadratische Regression möglich.

Was nehmt Ihr denn gerade in der Vorlesung als Themen durch? Das sollte die Frage beantworten, welche Methode anzuwenden ist.

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Danke für die Antwort. Ich bin mir bei der Aufgabenstellung noch unsicher. Meinst du, dass man für die verschiedenen Datensätze jeweils unterschiedlich vorgehen sollte (z. B. bei 2 Messwerten linear, bei 4 Messwerten kubisch), oder würdest du für die eigentliche Aufgabe am Ende eine einzige Näherungsfunktion wählen?

Der Verbrauch steigt zunächst an, erreicht ungefähr ein Maximum und fällt danach leicht wieder ab. Deshalb hätte ich eher an eine quadratische Funktion gedacht. Spricht aus deiner Sicht etwas dafür, stattdessen eine kubische Funktion zu verwenden?

Welche Methode würdest du bei dieser Aufgabenstellung persönlich als die naheliegendste bzw. wahrscheinlich erwartete Lösung ansehen?

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Wie gesagt, ohne Kenntnis in welchem Zusammenhang die Aufgabe gestellt wurde und welche mathematischen Methoden geübt werden sollen, kann man keine eindeutige Antwort geben.

Ich würde vermuten, dass verschiedene Näherungen für die drei Fälle gefragt sind, damit man die Ergebnisse vergleichen kann.

Da  ‚Näherungsfunktion‘ gefragt ist, würde ich vermuten, dass bei Beta keine kubische Funktion gefragt ist, auch weil bei Gamma dieser Ansatz ohnehin sehr mühsam würde.

Persönlich würde ich auf einen Polygonzug tippen (geradliniges verbinden der jeweiligen Punkte in den drei Fällen.

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Man kann sich eine Polynomfunktion (a.k.a. "ganzrationale Funktion") durch die Datenpunkte legen und so den zeitlichen Verlauf annähernd modelieren.

Oder man kombiniert alle Datenpunkte und findet dazu eine einzige Regressionsfunktion. Das wäre mein Weg:

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Hier als Beispiel Dein Fall Beta. Die Flächen kann man einfach über die Trapezformel berechnen.

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Da explizit drei Verfahren angegeben wurden, würde ich auch für jede einzeln ein Näherungsverfahren auswählen. Das wird wohl der Sinn sein, diese dann zu vergleichen. Sonst hätte man auch gleich alle Werte gesammelt vorgeben können.

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Na ja es ist nicht gerade ungewönlich, die Messungen verschiedener Instrumente zu einem Modell zu vereinigen. Also das was ich oben in meiner zweiten Graphik gemacht habe.

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Am besten beides machen und alles vergleichen.

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Da drei Verfahren gegeben sind, würde man auch drei Funktionen erwarten.

Was ich nicht machen würde und was sicherlich falsch ist, wäre, für alle Datenpunkte eine Funktion zu nehmen.

Wie diese aussehen, hängt im Wesentlichen davon ab, was gelehrt wurde. Das sind im einfachsten Fall lineare Funktionen zwischen den Stützstellen, kann aber auch eine Funktion sein, die durch Regression ermittelt wurde (evtl. mit Hilfsmitteleinsatz).

Interessant ist die Aufgabe:

Ermittle anschließend, wie sich mithilfe der Integralrechnung die im betrachteten Zeitraum insgesamt in den Körper freigesetzte Wirkstoffmenge näherungsweise bestimmen lässt.

Was ist denn eigentlich der betrachtete Zeitraum? Ich würde vermuten, der Zeitraum von 13 bis 17 Uhr. Das geht aber aus der Aufgabe nicht wirklich klar hervor. Aber damit hätte ich zunächst gerechnet.