Von Koordinaten- auf Parameterform

Question

Aufgabe:

Ich muss bei Ebenen von der Koordinatenform auf die Parameterform kommen. Ich weiß, wie es geht, wenn alle drei x-Werte da sind, sprich x₁ x₂ und x₃. Bei diese Aufgabe fehlt aber x₃ und ich weiß leider nicht, wie ich von Koordinatenform auf die Parameterform komme.

\( E:-7 x_{1}+7 x_{2}=-7 \)

Problem/Ansatz:

Ich stelle euch zur Veranschaulichung noch ein bild rein ich hoffe ihr könnt mir helfen danke Erich im Voraus

Comments

x₃ ist auch da, nur ist der Faktor Null :-)

Also rechne so, wie Du immer rechnest

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So sieht die Ebene (grün) im Koordinatensystem aus:

Wer ist Erich?

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Answer 1

Du brauchst doch einfach nur drei Punkte der Ebene, die nicht auf einer Geraden liegen. Das sind z.B.

(1|0|0), (0|-1|0), aber auch (1|0|5).

Answer 2

Hier mal mein Versuch:

Gegeben ist eine Ebene durch die Koordinatengleichung$$ E:\;{-}7 x_{1}+7 x_{2}=-7 $$Gesucht ist eine Parametergleichung dieser Ebene.

Wir können \(\left(-7\right)\) heraus kürzen und erhalten$$ E:\; x_{1} - x_{2}=1 $$Was können wir damit machen? Offenbar ist \(\left(1 \vert 0  \vert 0\right)\) ein Punkt der Ebene, mit dem wir einen guten Stützvektor \(\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\) herstellen können. Ein schöner Normalenvektor \(\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix}\) lässt sich auch unmittelbar ablesen. Daraus bekommen wir ohne jede Rechnung mit \(\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{w}=\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}\) zwei hübsche und offensichtlich nicht kollineare Vektoren zusammengeschüttelt, die wir als Spannvektoren verwenden können: $$E:\;\overrightarrow{x}=\overrightarrow{u}+r\cdot\overrightarrow{v}+s\cdot\overrightarrow{w}$$Wir erhalten:$$E:\;\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$$Dabei haben wir eigentlich gar nicht gerechnet...