Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Aggregat am letzten Tag ausfällt.

Question

Aufgabe:

Ein Containerschiff hat zwei Dieselgeneratoren, die in der Regel beide laufen. An einem Reisetag besteht die Wahrscheinlichkeit von 2%, dass eines der beiden Aggregateausfällt. Das macht nichts, das Schiff kann auch mit einem Aggregat weiterfahren. Ist ein Aggregat ausgefallen, fällt aber mit 2% Wahrscheinlichkeit am nächsten Tag auch noch das zweite Aggregat aus. Ein ausgefallenes Aggregat können die Maschinisten bis zum nächsten Tag mit einer Wahrscheinlichkeit von 30% wieder instand setzen, sind beide ausgefallen reduziert sich die Reparaturwahrscheinlichkeit auf 15% proAggregat. Wir wollen vernachlässigen, dass an einem Tag auch beide Aggregate ausfallen könnten.

(B) Wenn das Schiff losfährt, laufen beide Aggregate. Die Fahrt von China nach Europa dauert 48 Tage. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass am letzten Tag ein Aggregat bzw. beide Aggregate ausgefallen sind, die Benutzung von SageMath ist gestattet.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bei der b helfen, ich weiß nicht wie man das berechnen kann ?

Comments

Kannst Du mit Markov-Ketten umgehen?

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Ein bisschen, ja.

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Dann tue es....

\(\displaystyle \left(\begin{array}{ccc} 0,98 & 0,3 \cdot 0,98 & 0,15^{2} \\ 0,02 & 0,7 \cdot 0,98+0,3 \cdot 0,02 & 1-0,15^{2}-0,85^{2} \\ 0 & 0,7 \cdot 0,02 & 0,85^{2} \end{array}\right)^{48} \cdot \left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \\\\  \approx \left(\begin{array}{l} 93,4 \; \% \\ 6,3 \; \% \\ 0,3 \; \% \end{array}\right) \quad \begin{array}{l} \text{0 defekt} \\ \text{1 defekt} \\ \text{2 defekt} \end{array} \)

Man sieht, wie sich die Wahrscheinlichkeiten von 1 oder 2 Motorendefekten nach einigen Tagen stabilisieren:

Answer 1

Da sich die Ausfälle bzw. das Reparieren als Wahrscheinlichkeiten nur auf den Vortag beziehen, ließe sich das mit einer Markovkette modellieren.

Habt ihr solche Modelle in Stochastik bereits angesprochen?

[spoiler]

[0.98, 0.3, 0.15^2; 0.02, 1 - 0.02 - 0.3, 2·0.15·0.85; 0, 0.02, 0.85^2]^48·[1; 0; 0] = [0.9336308912; 0.06190734556; 0.004461763140]

[/spoiler]

Also damit würde ich auf eine WK von ca. 6.1907% (1 Ausfall) und 0.4462% (2 Ausfälle) kommen.

Comments

Die Rechnung ist aus meiner Sicht nicht korrekt. Bspw. muss der Wert \(m_{21}=0{,}98 \cdot 0{,}30=0{,}294 \) sein, da einerseits das defekte Aggregat repariert werden muss und andererseits das zweite Aggregat nicht ausfallen darf.

Answer 2

Das Stichwort Markovkette wurde ja bereits genannt. Nimm die Zustände \(Z_0,  Z_1, Z_2\), wobei \(Z_k\) bedeutet, dass genau \(k\) Aggregate defekt sind.

Überlege dir jetzt, wie die Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen den einzelnen Zuständen sind. Trage sie dann in eine Übergangsmatrix \(M \) ein. Dabei bezeichnet ein Eintrag \(m_{ij}\) die Wahrscheinlichkeit vom Zustand \(Z_j \) in den Zustand \(Z_i \) zu wechseln.

Mit \(v_0=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\) gilt nach \(48\) Tagen dann \(v_{48}=M^{48}\cdot v_0 \).

Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten stehen dann im zweiten und dritten Eintrag.

Comments

Kann man die Aufgabe nur mit der Markovkette berechnen oder auch anders?

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Man könnte auch ein Baumdiagramm machen... Aber bei 48 Tagen? Nicht so praktikabel. Aber auch da machst du dir dann über die verschiedenen Zustände Gedanken.

Die Aufgabe ist schon so gestaltet, dass man das mit Hilfe einer Übergangsmatrix löst. Das ist eine sehr schöne Anwendung der Matrizenrechnung wie ich finde.

Hast du denn da noch Schwierigkeiten?

Answer 3

die Benutzung von SageMath ist gestattet.