Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Aggregat am letzten Tag ausfällt.

Question

Aufgabe:

Ein Containerschiff hat zwei Dieselgeneratoren, die in der Regel beide laufen. An einem Reisetag besteht die Wahrscheinlichkeit von 2%, dass eines der beiden Aggregateausfällt. Das macht nichts, das Schiff kann auch mit einem Aggregat weiterfahren. Ist ein Aggregat ausgefallen, fällt aber mit 2% Wahrscheinlichkeit am nächsten Tag auch noch das zweite Aggregat aus. Ein ausgefallenes Aggregat können die Maschinisten bis zum nächsten Tag mit einer Wahrscheinlichkeit von 30% wieder instand setzen, sind beide ausgefallen reduziert sich die Reparaturwahrscheinlichkeit auf 15% pro Aggregat. Wir wollen vernachlässigen, dass an einem Tag auch beide Aggregate ausfallen könnten.

(B) Wenn das Schiff losfährt, laufen beide Aggregate. Die Fahrt von China nach Europa dauert 48 Tage. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass am letzten Tag ein Aggregat bzw. beide Aggregate ausgefallen sind, die Benutzung von SageMath ist gestattet.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bei der b helfen, ich weiß nicht wie man das berechnen kann ?

Comments

Kannst Du mit Markov-Ketten umgehen?

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Ein bisschen, ja.

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Dann tue es....

\(\displaystyle \left(\begin{array}{ccc} 0,98 & 0,3 \cdot 0,98 & 0,15^{2} \\ 0,02 & 0,7 \cdot 0,98+0,3 \cdot 0,02 & 1-0,15^{2}-0,85^{2} \\ 0 & 0,7 \cdot 0,02 & 0,85^{2} \end{array}\right)^{48} \cdot \left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \\\\  \approx \left(\begin{array}{l} 93,4 \; \% \\ 6,3 \; \% \\ 0,3 \; \% \end{array}\right) \quad \begin{array}{l} \text{0 defekt} \\ \text{1 defekt} \\ \text{2 defekt} \end{array} \)

Man sieht, wie sich die Wahrscheinlichkeiten von 1 oder 2 Motordefekten nach einigen Tagen stabilisieren:

Answer 1

Das Stichwort Markovkette wurde ja bereits genannt. Nimm die Zustände \(Z_0,  Z_1, Z_2\), wobei \(Z_k\) bedeutet, dass genau \(k\) Aggregate defekt sind.

Überlege dir jetzt, wie die Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen den einzelnen Zuständen sind. Trage sie dann in eine Übergangsmatrix \(M \) ein. Dabei bezeichnet ein Eintrag \(m_{ij}\) die Wahrscheinlichkeit vom Zustand \(Z_j \) in den Zustand \(Z_i \) zu wechseln.

Mit \(v_0=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\) gilt nach \(48\) Tagen dann \(v_{48}=M^{48}\cdot v_0 \).

Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten stehen dann im zweiten und dritten Eintrag.

Comments

Kann man die Aufgabe nur mit der Markovkette berechnen oder auch anders?

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Man könnte auch ein Baumdiagramm machen... Aber bei 48 Tagen? Nicht so praktikabel. Aber auch da machst du dir dann über die verschiedenen Zustände Gedanken.

Die Aufgabe ist schon so gestaltet, dass man das mit Hilfe einer Übergangsmatrix löst. Das ist eine sehr schöne Anwendung der Matrizenrechnung wie ich finde.

Hast du denn da noch Schwierigkeiten?

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... die Wahrscheinlichkeit vom Zustand \(Z_j \) in den Zustand \(Z_i \) zu wechseln.

Vielleicht eher:

... die Wahrscheinlichkeit vom Zustand \(Z_{j-1} \) in den Zustand \(Z_{i-1} \) zu wechseln.

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Stimmt. Die Zeilen und Spalten zählt man erst ab 1. Danke für den Hinweis.

Answer 2

Da sich die Ausfälle bzw. das Reparieren als Wahrscheinlichkeiten nur auf den Vortag beziehen, ließe sich das mit einer Markovkette modellieren.

Habt ihr solche Modelle in Stochastik bereits angesprochen?

[spoiler]

[0.98, 0.3·0.98, 0.15^2; 0.02, 0.7·0.98 + 0.3·0.02, 2·0.15·0.85; 0, 0.7·0.02, 0.85^2]^48·[1; 0; 0] = [0.9335461720; 0.06326223493; 0.003191593022]

[/spoiler]

Also damit würde ich auf eine WK von ca. 6.33% (1 Ausfall) und ca. 0.32% (2 Ausfälle) kommen.

Rechnung und Ergebnisse wurden nach Kommentar geändert.

Und hier noch ein Nachtrag:

Alternativ könnte man auch die Grenzwahrscheinlichkeiten nach unendlich vielen Tagen bestimmen.

[spoiler]

[0.98, 0.3·0.98, 0.15^2; 0.02, 0.7·0.98 + 0.3·0.02, 2·0.15·0.85; 0, 0.7·0.02, 0.85^2; 1, 1, 1]·[x; y; z] = [x; y; z; 1]

[/spoiler]

Dann erhalte ich folgende Grenzwahrscheinlichkeiten:

x = 8190/8773 ∧ z = 28/8773 ∧ y = 555/8773
x ≈ 0.9335 ∧ y ≈ 0.0633 ∧ z ≈ 0.0032

Bei dieser Methode kann man das auch ohne rechnerische Hilfsmittel noch gut berechnen, weil die lästige Potenz der Matrix nicht benötigt wird. Das geht aber nur, weil die Matrix sehr schnell zu einer stabilen Grenzmatrix konvergiert.

Comments

Die Rechnung ist aus meiner Sicht nicht korrekt. Bspw. muss der Wert \(m_{21}=0{,}98 \cdot 0{,}30=0{,}294 \) sein, da einerseits das defekte Aggregat repariert werden muss und andererseits das zweite Aggregat nicht ausfallen darf.

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Ginge hier auch ein Baumdiagramm? Wenn nicht, warum?

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Viel Spaß beim Zeichnen.

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Es war nur eine grundsätzliche Frage. Danke für die schnelle Antwort.

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@beachboyM: Der Baum hat ein Ende am linken Rand und 3⁴⁸ Enden ("Blätter") am rechten Rand.

Wenn Du in der Darstellung am rechten Rand zwischen jedem Ende 1 cm vertikalen Abstand lässt, dann wird die Zeichnung etwa 8 ⋅ 10²⁰ Meter hoch. Das ist etwa 1000 Mrd. mal die Distanz Erde-Mond-Erde. Oder wie das Apfelmännchen schon geschrieben hat:

Viel Spaß beim Zeichnen.

(Du kannst den Baum anstatt von links nach rechts auch von oben nach unten zeichnen, dann ersetze "hoch" durch "breit".)

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Ja. Die Übergänge von Zustand 2 sind bei mir nicht korrekt. Ich verbesser das gerne oben.

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Ich habe meine obige Rechnung und die Ergebnisse korrigiert und eine einfachere Version unter Vermeidung der hohen Potenz einer Matrix gepostet.

Answer 3

die Benutzung von SageMath ist gestattet.

Comments

Auf den Anfangszustand kommt es bei dieser Aufgabe übrigens nicht an, hier der Verlauf der Wahrscheinlichkeit für genau 1 Motorschaden über die Tage für die drei möglichen Anfangszustände: