Question

Ist Z/Z4 ein kommutativer Ring der nicht nullteiler frei ist?

Wenn ja, wie soll ich das beweisen? :)

Answer 1

$$\mathbb Z/4\mathbb Z.$$

Comments

Vielen dank für die schnelle Antwort :)
benötigt man hier für noch einen Beweis oder kann man es einfach so hinnehmen?

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Dass es sich um einen kommutativen Ring mit  1  handelt, sollte als bekannt vorausgesetzt werden können. Da in diesem Ring  2·2 = 0  und  2 ≠ 0  gilt, ist er auch nicht nullteilerfei.

Answer 2

Zeige zunächst, dass Z/4Z ein kommutativer Ring ist (Ringaxiome).

Dass Z/4Z nicht nullteilerfrei ist, kann man einfach durch Angabe eines Nullteilers zeigen:

Nullteiler des Z/4Z ist 2, denn 2 * 2 ≡ 0 mod 4

 

Dazu noch aus Wikipedia:

Allgemein ist für eine natürliche Zahl n > 1 der Restklassenring Z/nZ genau dann nullteilerfrei (sogar ein Körper), wenn n eine Primzahl ist.

Da 4 keine Primzahl ist, folgt daraus, dass der Restklassenring Z/4Z nicht nullteilerfrei ist.