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Hallo zusammen,

ich habe Aufgaben zu Differentialgleichungen erhalten. Ich weiß nicht wie ich beginnen soll (neue Thematik), aber ich habe einige Ansätze.


Aufgaben

zu a) Setze ich für α -1 und 1 sowie für t 0 ein? Der Anfangswert ist ebenfalls 0.
z1

Grüße Mountain_lion 

Gefragt von

Es ist falsch. Die gezeichneten Funktionen entsprechen f(x)=x bzw. f(x)=-x. Es muss eine gekrümmte Kurve sein, oder?

Das d/dt verunsichert mich. Differentialgleichungen sind doch Ableitungen von Funktionen, z.B. f(x)=2x dann f'(x)=2 und dann f''(x)=0, oder?

Werden nur die Zahlen eingesetzt oder muss noch abgeleitet werden und dann erst skizziert werden?

1 Antwort

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Beste Antwort

a)
Schreibe das besser als

dx / dt = ax            |separieren wie bei den Barschen vorher

dx/x = a dt            | integrieren

ln x = at + C

x(t) = e^(at + C) = D*e^(at)

b)

dx / dt = -2t x           |separieren

dx / x = - 2t dt         |integrieren

ln(x) = -t^2 + C

x(t) = e^(-t^2 + C) = D*e^(-t^2)

Dann jeweils für D den Anfangswert einsetzen und die Graphen zeichnen.

Beantwortet von 142 k

Vielen Dank Lu für deine Antwort! Wenn dieses dx/dt nicht wäre, dann wäre vieles leichter. Jetzt brauch man nur noch mithilfe der Formel: x(t)=eat+C=D*eat die Werte <0 bzw. >0 einsetzen.

x(0)=e-2*0+C=D*e-2*0

x(0)=e2*0+C=D*e2*0

Es genügt, wenn du D (≥0) berechnest. C ist nicht mehr interessant, wenn man D*e^(2t) hat.

D ist der Anfangswert.

Wenn man bei a) den Anfangswert (D) 0 einsetzt, dann ist auf der rechten Seite 0, denn 0*2,7=0. Also bleibt nur noch x(t) = eat übrig. 

x(t) = eat + C = D*eat

x(t) = eat

1. Wert: a<0
Beispielwert: -2

x(t) = eat
x(t) = e-2t
2a

2. Wert: a>0
Beispielwert: 2
x(t) = eat
x(t) = e2t

1a
  

Schöne Zeichnung. Aber 

Wenn man bei a) den Anfangswert (D) 0 einsetzt, dann ist auf der rechten Seite 0, denn 0*2,7=0. Also bleibt nur noch x(t) = eat übrig.  

stimmt nicht ganz. Anfang heisst ja t=0. Das D ist der Anfangswert.

Richtig wäre: 

Wenn man bei a) den Anfangswert  D=1  einsetzt, dann ist auf der rechten Seite 0, denn 1*2,70=1 . Also bleibt nur noch x(t) = eat übrig.  

Allgemein bleibt aber: x(t) = D*e^(at) resp. x(t) = D*e^(-t^2) 

D kannst man beliebig wählen (ist der Anfangswert).

Nun ist bei a) verlangt, dass du a < 0 und a > 0 wählen sollst und dann verschiedene Werte für D einsetzen sollst. D=1 hast du ja schon schön gezeichnet. 

Bei b) sollst du D = 1 und D = -1 wählen für die Zeichnung.

Vorschläge zu Aufgabe b)

1b

2b

Sieht gut aus. Wenn du willst, kannst du den Teil links der vertikalen Achse weglassen. Die verlangen ja Skizzen für t ≥ 0.
Super :-) Vielen Dank Lu für deine Unterstützung und vor allem für deine Geduld! ;-)

Mit freundlichen Grüßen

Mountain_lion
Bitte. Gern geschehen. Das Ganze allerdings ohne Gewähr. Aber du rechnest ja mit. Da könnte es ja dann schon stimmen.

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