Differentialgleichungen lösen durch Trennung der Variablen

Question

Finden Sie die allgemeinen Lösungen folgender Differentialgleichungen.

a) \( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} x=\alpha x \)

Skizzieren Sie die Lösung jeweils für \( \alpha<0 \) und \( \alpha>0 \) für \( t \geq 0 \) und mehrere verschiedene Anfangswerte \( x_{0}=x(0) \).

b) \( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} x=-2 t x \)

Skizzieren Sie die Lösung für \( t \geq 0 \) und für \( x(t=0)=1 \) und \( x(t=0)=-1 \).


Ansatz:

zu a) Setze ich für α -1 und 1 sowie für t 0 ein? Der Anfangswert ist ebenfalls 0.

Es ist falsch. Die gezeichneten Funktionen entsprechen f(x)=x bzw. f(x)=-x. Es muss eine gekrümmte Kurve sein, oder?

Das d/dt verunsichert mich. Differentialgleichungen sind doch Ableitungen von Funktionen, z.B. f(x)=2x dann f'(x)=2 und dann f''(x)=0, oder?

Werden nur die Zahlen eingesetzt oder muss noch abgeleitet werden und dann erst skizziert werden?

Answer 1

a)
Schreibe das besser als

dx / dt = ax            |separieren wie bei den Barschen vorher

dx/x = a dt            | integrieren

ln x = at + C

x(t) = e^{at + C} = D*e^{at}

b)

dx / dt = -2t x           |separieren

dx / x = - 2t dt         |integrieren

ln(x) = -t^2 + C

x(t) = e^{-t^2 + C} = D*e^{-t^2}

Dann jeweils für D den Anfangswert einsetzen und die Graphen zeichnen.

Comments

Vielen Dank Lu für deine Antwort! Wenn dieses dx/dt nicht wäre, dann wäre vieles leichter. Jetzt brauch man nur noch mithilfe der Formel: x(t)=e^at+C=D*e^at die Werte <0 bzw. >0 einsetzen.

x(0)=e^-2*0+C=D*e^-2*0

x(0)=e^2*0+C=D*e^2*0

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Es genügt, wenn du D (≥0) berechnest. C ist nicht mehr interessant, wenn man D*e^{2t} hat.

D ist der Anfangswert.

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Wenn man bei a) den Anfangswert (D) 0 einsetzt, dann ist auf der rechten Seite 0, denn 0*2,7=0. Also bleibt nur noch x(t) = e^at übrig. 

x(t) = e^{at + C} = D*e^at

x(t) = e^at

1. Wert: a<0
Beispielwert: -2

x(t) = e^at
x(t) = e^-2t


2. Wert: a>0
Beispielwert: 2
x(t) = e^at
x(t) = e^2t


  

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Schöne Zeichnung. Aber 

Wenn man bei a) den Anfangswert (D) 0 einsetzt, dann ist auf der rechten Seite 0, denn 0*2,7=0. Also bleibt nur noch x(t) = e^at übrig.  

stimmt nicht ganz. Anfang heisst ja t=0. Das D ist der Anfangswert.

Richtig wäre: 

Wenn man bei a) den Anfangswert  D=1  einsetzt, dann ist auf der rechten Seite 0, denn 1*2,7⁰=1 . Also bleibt nur noch x(t) = e^at übrig.  

Allgemein bleibt aber: x(t) = D*e^{at} resp. x(t) = D*e^{-t^2} 

D kannst man beliebig wählen (ist der Anfangswert).

Nun ist bei a) verlangt, dass du a < 0 und a > 0 wählen sollst und dann verschiedene Werte für D einsetzen sollst. D=1 hast du ja schon schön gezeichnet. 

Bei b) sollst du D = 1 und D = -1 wählen für die Zeichnung.

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Vorschläge zu Aufgabe b)

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Sieht gut aus. Wenn du willst, kannst du den Teil links der vertikalen Achse weglassen. Die verlangen ja Skizzen für t ≥ 0.

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Super :-) Vielen Dank Lu für deine Unterstützung und vor allem für deine Geduld! ;-)

 

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Bitte. Gern geschehen. Das Ganze allerdings ohne Gewähr. Aber du rechnest ja mit. Da könnte es ja dann schon stimmen.