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Hallo,

ich habe eine Aufgabe zur Populationsentwicklung ĂŒber Meerbarsche erhalten. Ich habe zwar LösungsvorschlĂ€ge, aber Schwierigkeiten.

,

Mountain_lion


3

zu a)
Maßeinheit in Tonnen im Jahr

zu b)
λ ist ein variabler Faktor oder eine Konstante die, die Fischpopulation beeinflusst, d.h. wie viele Fische sind ungefÀhr vorhanden (Tonnen).

zu c)
Die Meerbarsche haben sich von 1879 bis 1899, also innerhalb von 20 Jahren deutlich vermehrt. Die Kurve muss demnach wie eine e-Funktion steigen.
 

von
d/ dt N = k N  ist eine separierbare Differentialgleichung.

Separiere so:

1/N dN = k dt           |∫

ln N = kt + C             | nach N auflösen: e^links = e^rechts

N(t)  = e^{kt + C} = D*e^{kt}

Hallo Lu,

vielen Dank fĂŒr deine schnelle Antwort! Ich habe mit der e-Funktion schon die richtige Vermutung gehabt, aber ich wĂ€re nie  auf das k oder kt gekommen, da es nicht in der Aufgabe stand. Ich sehe, dass du ein Integral gebildet hast dann den Logarithmus und das C kommt von der Integralrechnung. Letztendlich bleibt nur noch eine Gleichung ĂŒbrig, mit der e-Funktion. Was meinst du mit elinks=erechts?



Mountain_lion

Ich will ja N allein haben.

Also

e^{lnN} = N

nach Def. von log. Dasselbe auf beiden Seiten der Gleichung.

Genau, stimmt! N ist die PopulationsgrĂ¶ĂŸe und das haben wir gesucht.

Danke Lu

Welche Werte setzt man in die Gleichung ein?

N(t)=ekt+C=D*ekt


k=
t=Zeiteinheit
D=

C=Konstante

k und D kannst du mit Hilfe der gegebenen Werte berechnen.
C ist nur in der Zwischenrechnung. Das brauchst du am Schluss nicht mehr.

Gegeben:
435 Exemplare (Anfangswert)
617t=617.000kg
2 Barsche=1kg
617.000*2=1.234.000 Exemplare
-10%=0,10
20 Jahre

Gesucht: N (Entwicklung PopulationsgrĂ¶ĂŸe)

Lösung:
N(t)=ekt+C=D*ekt

N(t)=ekt=D*ekt

N(t)=e0,1*20=435*e0,1*20

N(t)=7,389=3.214,239

Am Schluss sollte deine Funktion schon noch von t abhÀngen und der Zwischenschritt mit cem C muss du nicht mehr mitschleppen

N(t)=D*ekt 

N(t)=435*e^{k t}

2 Barsche=1kg 
617.000*2=1.234.000 Exemplare 
Bedeutet, dass N(20) = 10*1'234'000 

N(20)=435*e^k*20  = 1.234.000 * 10

Jetzt das hier nach k auflösen

k = 0.5126505

N(t) = 435* e^{0.5126505*t}           

Vielen Dank Lu fĂŒr deine UnterstĂŒtzung!
 

Dann brauch man bei d)  die 10, entweder durch 5 bzw. 20 ersetzen, stimmt's?

Eine Frage: Wie bist du auf 0.5126505 gekommen?

 Wie bist du auf 0.5126505 gekommen?

Ich habe diese Gleichung nach k aufgelöst.

435*ek*20  = 1.234.000 * 10         |: 435

ek*20  = 1.234.000 * 10    / 435          |ln

k*20 = ln(1.234.000 * 10    / 435)        |:20

k =  ln(1.234.000 * 10    / 435) /20

Dann brauch man bei d)  die 10, entweder durch 20 bei 5% bzw. 5 bei 20% ersetzen, stimmt's? 

Du musst ja den Bestand berechnen aus der Zahl der gefangenen Barsche. Das Ganze in der Annahme, dass die 435 der ursprĂŒngliche Population war, also 1879 keine einheimischen Barsche vorhanden waren.

1 Antwort

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Aus den Kommentaren:

 Am Schluss sollte deine Funktion schon noch von t abhĂ€ngen und der Zwischenschritt mit cem C muss du nicht mehr mitschleppen

N(t)=D*ekt  

N(t)=435*ek t

2 Barsche=1kg  
617.000*2=1.234.000 Exemplare  
Bedeutet, dass N(20) = 10*1'234'000  

N(20)=435*ek*20  = 1.234.000 * 10

Jetzt das hier nach k auflösen

 

435*ek*20  = 1.234.000 * 10         |: 435

ek*20  = 1.234.000 * 10    / 435          |ln

k*20 = ln(1.234.000 * 10    / 435)        |:20

k =  ln(1.234.000 * 10    / 435) /20

k = 0.5126505

N(t) = 435* e0.5126505*t           

 

Dann brauch man bei d)  die 10, entweder durch 20 bei 5% bzw. 5 bei 20% ersetzen, stimmt's? 

Du musst ja den Bestand berechnen aus der Zahl der gefangenen Barsche. Das Ganze in der Annahme, dass die 435 der ursprĂŒngliche Population war, also 1879 keine einheimischen Barsche vorhanden waren.

Du weisst ja nun selbst, wie du weiterkommst.

von 145 k
Vielen Dank Lu fĂŒr deine BemĂŒhung! DafĂŒr erhĂ€ltst du einen Punkt und einen Stern.

Schönen Abend noch,

Mountain_lion

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