Zeigen, wie eine Folge konvergiert. x_n+1 :=1/2(x_n + c/x_n)

Question

Aufgabe:

Es sei $c>0$ gegeben. Für einen beliebigen Startwert $x_{0}>0$ wird durch
$$x_{n+1}:=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{c}{x_{n}}\right)$$
rekursive eine Folge definiert. Zeigen Sie, dass die Folge konvergiert und dass für den Grenzwert $x:=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ die Gleichung $x^{2}=c$ gilt. Nutzen Sie ohne Beweis, dass $\forall a, b \in \mathbb{R}$ mit $a, b>0$ gilt:
$$a \leq b \Rightarrow a \leq \sqrt{a b} \leq \frac{a+b}{2} \leq b$$

Comments

Wenn die Folge konvergiert, ändert sich der Wert von einem zum nächsten Folgenglied irgendwann nicht mehr.

D.h. statt x_n+1 :=1/2(x_n + c/x_n)

gilt dann einfach

x = 1/2 ( x + c/x)     |*2

2x = x + c/x

x = c/x

x^2 = c. Diesen Teil hätten wir also schon mal.

Jetzt musst du aber noch zeigen, dass die Folge tatsächlich konvergiert.

Answer 1

(1) Ein einfacher Induktionsbeweis zeigt, dass $x_n>0$ für alle $n\geq0$ gilt.
(2) Die Folge ist für $n>0$ durch $\sqrt c$ nach unten beschränkt:$$x_{n+1}^2-c=\frac14\left(x_n+\frac c{x_n}\right)^2-c=\frac14\left(x_n-\frac c{x_n}\right)^2\geq0.$$(3) Die Folge ist für $n>0$ monoton fallend:$$x_{n+1}-x_n=\frac12\left(x_n+\frac c{x_n}\right)-x_n=\frac12\left(\frac c{x_n}-x_n\right)=\frac{c-x_n^2}{2x_n}\leq0.$$(4) Aus (2) und (3) folgt, dass die Folge konvergiert. Der Grenzwert $x$ berechnet sich aus $x=\frac12\left(x+\frac cx\right)$, woraus $x^2=c$ folgt.