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Ich soll zeigen wie eine Folge konvergiert..kann wer helfen?

von
Wenn die Folge konvergiert, ändert sich der Wert von einem zum nächsten Folgenglied irgendwann nicht mehr.

D.h. statt x_n+1 :=1/2(x_n + c/x_n)

gilt dann einfach

x = 1/2 ( x + c/x)     |*2

2x = x + c/x

x = c/x

x^2 = c. Diesen Teil hätten wir also schon mal.

Jetzt musst du aber noch zeigen, dass die Folge tatsächlich konvergiert.

1 Antwort

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(1) Ein einfacher Induktionsbeweis zeigt, dass \(x_n>0\) für alle \(n\geq0\) gilt.
(2) Die Folge ist für \(n>0\) durch \(\sqrt c\) nach unten beschränkt:$$x_{n+1}^2-c=\frac14\left(x_n+\frac c{x_n}\right)^2-c=\frac14\left(x_n-\frac c{x_n}\right)^2\geq0.$$(3) Die Folge ist für \(n>0\) monoton fallend:$$x_{n+1}-x_n=\frac12\left(x_n+\frac c{x_n}\right)-x_n=\frac12\left(\frac c{x_n}-x_n\right)=\frac{c-x_n^2}{2x_n}\leq0.$$(4) Aus (2) und (3) folgt, dass die Folge konvergiert. Der Grenzwert \(x\) berechnet sich aus \(x=\frac12\left(x+\frac cx\right)\), woraus \(x^2=c\) folgt.
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