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Ich komme leider gar nicht mit der Fragestellung klar, weil ich keinen Ansatz habe. 

klar den wert kann ich berechnen aber mehr bekomme ich leider nicht hin.

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Hi,

 

Teil a)

die Riemannschen Ober- bzw. Untersumme berechnen sich für eine gegebene Zerlegung xk des Intervalls [0,1] wie folgt,

siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsches_Integral zu

 

$$ O(f)=\sum _{ k=1 }^{ n }{ ({ x }_{ k }-{ x }_{ k-1 }) } *\underset { { x }_{ k-1 }<x<{ x }_{ k } }{ sup } f(x) $$

und

$$ U(f)=\sum _{ k=1 }^{ n }{ ({ x }_{ k }-{ x }_{ k-1 }) } *\underset { { x }_{ k-1 }<x<{ x }_{ k } }{ inf } f(x) $$

Wähle als Zerlegung für das Intervall [0, 1] eine äquidistante Zerlegung mit $$ { x }_{ k }=\frac { 1 }{ n } $$
dann gilt

 

$$ O(f)=\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ n } } * { \left( { \frac { k }{ n }  } \right)  }^{ 2 } = \frac { 1 }{ { n }^{ 3 } } *\frac { 1 }{ 6 } *n*(n+1)*(2n+1) $$

und

$$ U(f)=\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ n } } * { \left( { \frac { k-1 }{ n }  } \right)  }^{ 2 } = \frac { 1 }{ { n }^{ 3 } } *\frac { 1 }{ 6 } *(n-1)*n)*(2n-1) $$

Beide Summen, die Ober- wie auch die Untersumme konvergieren gegen $$ \frac { 1 }{ 3 } $$ für n gegen unendlich.

Damit existiert das Intergral und der Wert des Integrals beträgt $$ \frac { 1 }{ 3} $$

 

Teil b)

Hier musst Du den Mittelwertsatz der Integralrechnung in der Form

$$ \int _{ a }^{ b }{ f(x)g(x)dx= } f(c)\int _{ a }^{ b }{ g(x)dx } $$ für c aus [0, 1] mit a=0, b=1 und g(x)=x2 und verwenden und benutzten, dass das Integral über x2 nach Teil a) $$ \frac { 1 }{ 3 } $$ beträgt.

von 23 k

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