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Bogenlänge von f(t)=(1/2)*cosh(2t)     ,   -R ≤ t ≤ R

 

Da gibt es ja die Formel: ∫√(1+f´(t)2) dt in den Grenzen -R; R 

 

Als Ableitung habe ich raus: f´(t)=sinh(2t) (mit Produktregel + innere mal äußere etc.)

 

Daraus folgt dann für die oben genannte Formel: 

 

 ∫√(1+sinh(2t)2) dt in den Grenzen -R; R =∫√(cosh(2t)2) dt = sinh(2t) in -R,R = sinh(2R) - sinh(-2R) 

 

Kann man das noch weiter zusammenfassen? 

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Hi Kickflip,

 

vllt nochmal sauberer und unzerrissen aufgeschrieben:

 

Deine Umformungen scheinen alle korrekt zu sein. Du hast dabei die Beziehung

cosh(x)^2-sinh(x)^2 = 1

richtig verwendet.

 

Am Ende Deiner Rechnung berücksichtige noch die Punktsymmetrie des sinh(x):

 

sinh(2R) - sinh(-2R) = 2sinh(2R)

 

Damit hast Du also Deine soweit richtige Rechnung noch sauber zusammengefasst :):

 

Grüße

Beantwortet von 133 k
+1 Punkt
Ja.

Gemäß Additionstheorem:

sinh ( x ) - sinh ( y ) = 2 sinh ( ( x - y ) / 2 ) * cosh ( ( x + y ) / 2 )

gilt:

sinh ( 2 R ) - sinh ( - 2 R )

= 2 sinh ( ( 2 R + 2 R ) / 2 ) * cosh ( ( 2 R - 2 R ) / 2 )

= 2 sinh ( 4 R / 2 ) * cosh ( 0 )
= 2 sinh ( 2 R ) * 1

= 2 sinh ( 2 R )
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Hallo Kickflip,

( soweit meine Kenntnisse reichen )

Hast du bei der Umformung versucht den trigonometrischen
Pythagoras
( sinx)^2 + (cosx)^2 = 1
1 - (sinx)^2 = (cosx)^2
anzuwenden ?

√(1+sinh(2t)2)  => ∫√(cosh(2t)2)

Das dürfte wegen des + nicht anwendbar sein.
Außerdem weiß ich nicht ob die Formel überhaupt
auf sinh und cosh anwendbar ist.

mfg Georg

Beantwortet von 84 k
Wäre damit geklärt. mfg Georg
Gut, damit hätte ich das ja richtig angewendet, oder?

Yup hättest Du.

Du musst am Ende die Sache nur noch beenden, indem Du daran denkst, dass der sinh(x) punktsymmetrisch ist, also sinh(-x) = -sinh(x)

Es ergibt sich aus Deiner letzten Zeile:

sinh(2R) - sinh(-2R) = 2sinh(2R)

 

Wenn Du bei JotEs mal spickelst -> das ist identisch.

 

Grüße

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