Differentialgleichung zur Populationsgröße von Fressfeinden (H2O-Flöhe)

Question

Aufgabe Differentialgleichungen:

Eine genauere Analyse der Wasserflohpopulation ergibt, dass die beobachtete Oszillation der Populationsgröße auf die Wechselwirkung mit Fressfeinden zurückzuführen ist. Sei die Populationsgröße der Räuber \( y \), dann stehen die beiden Populationen in folgender Beziehung:

\( \begin{array}{l} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=\alpha x-\beta y \\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}=\gamma x-\delta y, \quad \alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathbf{R}^{+} \backslash\{0\} \end{array} \)

(Bsp) Geben Sie die Bedeutung und die Maßeinheit der Parameter \( \alpha, \beta, \gamma \) und \( \delta \) an.

(a) Falls \( \delta=\alpha \) gilt, lässt sich das gekoppelte Differentialgleichungssystem zu folgender Differentialgleichung für die Population der Wasserflöhe umformen:

\( \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} t^{2}}+\left(\beta \gamma-\alpha^{2}\right) x=0 \)

Um was für eine Differentialgleichung handelt es sich (Homogenität, Linearität, Ordnung, Koeffizienten)?

(b) Berechnen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.

(c) Skizzieren Sie die Lösung für \( t \geq 0, \beta \gamma-\alpha^{2}=-1 \) und die Anfangsbedingungen \( x(0)=0 \) und \( \left.\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=0}=2 \)

(d) Was stimmt diesmal nicht (vergleichen Sie Ihre Lösung und die Beobachtungen der Wasserflohpopulation)?

(e) Zusatzaufgabe: Skizzieren Sie die Lösung für \( t \geq 0, \beta \gamma-\alpha^{2}=1 \) und die Anfangsbedingungen \( x(0)=0 \) und \( \left.\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=0}=2 . \) Warum ist auch diese Lösung biologisch nicht sinnvoll?


Ansatz:
a)
+ 2. Ordnung, da d²x/dt²
+ nicht linear
+ konstante Koeffizienten
+ homogen

b)
Muss man hier den Exponentialansatz verwenden?

c)
erinnert mich an dieser Formel: sinh(x)=(exp(x)-exp(x))/2

Answer 1

Hi,

Teil a)

Die Dgl. ist linear, weil die Funktion x(t) nur in erster Potenz in der Dgl. vorkommt. Sie ist von zweiter Ordnung, da die höchste Ableitung 2 ist und sie ist homogen.

Teil b)

Zur Lösung der Dgl. kommst Du über die charakteristische Gleichung. Wenn Du für $$ x(t)={ e }^{ \lambda *t } $$ wählst, erhältst Du durch einsetzten in die Dgl. folgende Gleichung für Lambda

$$ \lambda^2+\left( \beta \gamma -\alpha^2 \right) =0 $$

Also

$$ { \lambda }_{ 1/2 } =\pm\sqrt { { \alpha }^{ 2 }-\beta \gamma } $$

Die allg. Lösung erhältst Du dann durch Linearkombination der beiden gewonnenen Lösungen, also

$$ x(t)={ c }_{ 1 }*{ e }^{ { \lambda }_{ 1 }*t }+{ c }_{ 2 }*{ e }^{ { \lambda }_{ 2 }*t } $$

Die Konstanten $$ { c }_{ 1 }\quad und\quad { c }_{ 2 } $$ bestimmt man über die Anfangsbedingungen, soweit sie bekannt sind. In Deinem Fall liegen sie ja nicht vor, dann bleibt es bei der obigen Lösung.

Zu Teil c:

Wenn $$ \beta\gamma-\alpha^2=-1 $$ gilt, ist $$ \lambda_1=1 $$ und $$ \lambda_2=-1 $$

Die allgemeine Lösung lautet also $$ x(t)=c_1e^t+c_2e^{-t} $$

Aus den Anfangsbedingungen folgt das gilt $$ x(0)=c_1+c_2=0 $$ und $$ x'(0)=\lambda_1*c_1+\lambda_2*c_2=2 $$ also $$ x'(0)=c_1-c_2=2 $$ Daraus ergibt sich $$ c_1=1 $$ und $$ c_2=-1 $$
Damit hat man als Lösung $$ x(t)=e^t-e^{-t}=2*sinh(t) $$

Das ganze must Du nun noch plotten.

Teil d:

Da die Kurve unbegrenzt wächst ist die Lösung biologisch nicht sinnvoll. Das Wachstum sollte ja begrenzt sein.


Teil e:

Mit den gleichen Methoden wie bei Teil c erhält man jetzt als Lösung

$$ x(t)=-i*e^{it}+i*e^{-it}=2*sin(t) $$ Das macht natürlich auch keinen Sinn, da jetzt die Lösung oszilliert.