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Hallo,

folgende Aufgabe im Bereich der Differentialgleichung ist gegeben:
2
Zu den Aufgaben b) und c) weiß ich nicht wie ich beginnen sollte. Ich habe wieder einige Ansätze parat.

Grüße Mountain_lion


zu a)
+ 1. Ordnung, da dx/dt statt dx²/dt²
+ inhomogen
+ nicht linear
+ variable Koeffizienten

 

von
zu a) Wieso inhomogen? x' = c*f(t)*x -> x' -c*f(t)*x = 0

zu b) als Tipp zur rechten Seite: f(t) = sin(t) und h(x) = x, diese Funktionen können separat integriert werden.

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Hi,

Teil a:

Die Dgl. ist linear, weil die Ableitungen nur in erster Potenz vorkommen. Die Koeffizienten sind nicht konstant da sie von der Zeit abhängen. Sie ist homogen und die Ordnung ist 1, da als Ableitung nur die erste Ableitung auftritt.

Teil b:

Die Dgl. löst man mittels trennen der Variablen.

$$ \frac { dx }{ dt }=c*sin(t)*x(t)  $$ folgt $$ \frac{dx}{x(t)}=c*sin(t)*dt $$ Auf beiden Seiten integrieren ergibt $$ ln(x(t))=-c*cos(t)+K $$ also $$ x(t)=e^{-c*cos(t)+K} $$ wobei K eine Integrationskonstante ist die durch die Anfangsbedingung festgelegt wird.

Teil c:

Aus $$ x(t)=e^{-c*cos(t)+K} $$ folgt mit c=1 $$ x(0)=100=e^{-1+K} $$ also $$ K=ln(100)+1 $$ Damit ist die Lösung bestimmt.

Für den Anfangswert x(0)=-100 gibt es keine Lösung, da die Exponentialfunktion immer positiv ist und somit keine negativen Werte annehmen kann.

Teil d:

Wenn man sich die Lösungen aufzeichnet, stellt man fest, dass die Lösungskurve oszilliert. Somit stellen die Lösungen keine biologisch sinvollen Lösungen dar.
von 23 k
Vielen Dank ullim für deine nachvollziehbare Rechnung! Ich werde mir jeden Schritt einzeln durchgehen, damit ich ein Gefühl für diese Aufgaben bekommen kann. Wie versprochen erhältst du für deine Bemühung einen Stern!

Grüße Mountain_lion

PS: Vielen Dank auch an Bepprich für deine Hilfe.

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