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i ist die imaginere einheit. was ist dann √-i ? und wenn √-i=x. was ist dann √-x ?

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Achtung: Im komplexen Zahlenbereich ist die Wurzel nicht eindeutig definiert. Man kann aber
z =a^2 nach a auflösen und bekommt jedes Mal 2 Lösungen, die beide als a und somit als Wurzel von z aufgefasst werden können. Vorausgesetzt: z≠0.

-i = a^2 = (x+ iy)^2                a = x+iy gesucht.

-i = x^2 + 2xyi - y^2              Nun müssen Realteil und Imaginärteil gleich sein.

Daher 2 Gleichungen:

 -1 = 2xy           (I)           -----> y = -1/(2x)       (I)'
0 = x^2 - y^2       (II)

(I)' in (II) einsetzen

0 = x^2 - 1/(4x^2)           |* x^2   
0 = x^4 - 1/4

1/4 = x^4      |vierte Wurzel

± (1/4)^(1/4) = x

± 1/√2 = x

x1 = 1/√2 und y1 = -1/(2*(1/√2)) = -1/√2

x2 = -1/√2 und y2 = -1/(2*(-1/√2)) = 1/√2  
a1 = (1/√2 , -1/√2)

a2 = (-1/√2 , 1/√2)

Nun kannst du bei den 'Wurzeln aus -a1=a2 und -a2=a1 wieder genau so vorgehen.

Einfacher wird es erst, wenn du Polarkoordinaten und Exponentialdarstellung der komplexen Zahlen kennengelernt hast.
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