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53800a + 5380b + 538c = 46100d + 4610e+461f

Lösungen der Gleichung für  a,b,c,d,e,f  = Ziffern von 0-9;
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53800a + 5380b + 538c = 46100d + 4610e+461f

Nun, die erste (trviale) Lösung, ist offensichtlich: a = b = c = d = e = f = 0

Daneben fällt natürlich sofort auf, dass man auf der linken Seite 538 und auf der rechten Seite 461 ausklammern kann:

53800a + 5380b + 538c = 46100d + 4610e+461f

<=> 538 ( 100 a + 10 b + c ) = 461 ( 100 d + 10 e + f )

Der Term in Klammern entspricht jeweils der Darstellung einer dreistelligen Zahl. Ersetzt man den linken Klammerterm durch x und den rechten durch y, so erhält man:

<=> 538 x = 461 y

Auuflösen nach y ergibt:

<=> y = 538 * x / 461

Zerlegt man 538 und 461 in ihre Primfaktoren, so stellt man fest:

538 = 3 * 11 * 17
461 = 461

Es existiert also kein gemeinsamer Teiler, daher kann man 538 / 461 nicht kürzen. Somit kann der Term

538 * x / 461

nur dann die ganze Zahl y liefern, wenn gilt: 

x = n * 461 , n ∈ N

Für y ergibt sich damit:

<=> y = 538 * n * 461 / 461

<=> y = 538 * n

Da aber y dreistellig sein muss, kann für n nur gelten: n = 1. Damit ist:

y = 538 und x = 461 

Aus (siehe oben)  y = 100 d + 10 e + f = 538 folgt also:

d = 5 , e = 3 , f = 8

und aus x = 461 = 100 a + 10 b + c folgt :

a = 4 , b = 6 , c = 1

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