Welche der Funktionen sind integrierbar? Beispiel: f(x) = n für x = 1/n und f(x):=0 sonst.

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Funktionen $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ sind integrierbar? Geben Sie Be-
gründungen und berechnen Sie gegebenenfalls $\int \limits_{0}^{1}$ $f(x) d x$
$(\mathrm{a})$
$$f(x):=\left\{\begin{array}{ll} {n,} & {\text { falls } x=\frac{1}{n} \text { mit } n \in \mathbb{N}} \\ {0} & {\text { sonst }} . \end{array}\right.$$
$(b)$
$$f(x):=\left\{\begin{array}{ll} {1,} & {\text { falls } x=\frac{1}{n} \text { mit } n \in \mathbb{N}} \\ {0} & {\text { sonst }} . \end{array}\right.$$
$(c)$
$$f(x):=\left\{\begin{array}{ll} {\frac{1}{2^{n}}} & {\text { für } \frac{1}{2^{n+1}}<x \leq \frac{1}{2^{n}} \text { mit } n \in \mathbb{N}_{0}} \\ {0,} & {\text { falls } x=0} \end{array}\right.$$
(d)
$$f(x):=\left\{\begin{array}{cc} {2^{n+1} x-1} & {\text { für } \frac{1}{2^{n+1}}<x \leq \frac{1}{2^{n}} \text { mit } n \in \mathbb{N}_{0}} \\ {0,} & {\text { falls } x=0} \end{array}\right.$$

Ansatz:

Eigentlich müsste diese Aufgabe sehr einfach sein.

Im Analysis 1 Kurs sind folgende Kriterien für Integrierbarkeit genannt:

(1) Eine beschränkte Funktion f heißt Riemman-integrierbar, wenn das Oberintegral und das Unterintegral übereinstimmen.

(2) Jede monotone Funktion auf einem kompakten Intervall ist integrierbar

(3) Jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall ist integrierbar

(4) Eine Funktion f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} ist genau dann integrierbar, wenn es zu jedem  epsilon > 0 Treppenfunktionen phi und psi \in T[a,b] (Treppenfunktionen) gibt mir phi <= f <= psi und

integral von a bis b über (psi(x) - phi(x)) dx <= epsilon

Für (a) - (e) ist schonmal klar, dass sie weder moton noch stetig sind. Kriterien (2) und (3) fallen also weg.

Das Oberintegral bzw. das Unterintegral einer Funktion f hatten wir so definiert, dass sie das Integral über die kleinste (bzw. größte) Treppenfunktion ist, die größer gleich (bzw. kleiner gleich) f ist.

Ich vermute die Aufgaben sind relativ einfach, aber ich habe gerade leider ein Brett vor dem Kopf. Wer kann mir helfen? ;)

Comments

Ich denke im Moment wahrscheinlich auch zu kompliziert :D

Answer 1

a) Die Funktion ist nicht stetig und somit nicht integrierbar, da es unendlich viele unterschiedliche Werte für x = 1/n gibt und somit der Grenzwert der Funktion nicht existiert.

b) Die Funktion ist ebenfalls nicht stetig und somit nicht integrierbar, da es unendlich viele unterschiedliche Werte für x = 1/n gibt und somit der Grenzwert der Funktion nicht existiert.

c) Die Funktion ist stetig und integrierbar. Sie ist eine Summe von unendlich vielen rechteckigen Funktionen mit einer Höhe von 1/2ⁿ und einer Breite von 1/2^(n+1) - 1/2ⁿ . Daher ist die Integral von f(x)dx = Summe(1/2ⁿ * (1/2^(n+1) - 1/2ⁿ)) = Summe(1/2^(n+1)) = 1.

d) Die Funktion ist stetig und integrierbar. Sie ist eine Summe von unendlich vielen linearen Funktionen mit einer Steigung von 2^(n+1) und einer y-Achsenabschnitt von -1. Daher ist die Integral von f(x)dx = Summe(2^(n+1) * (1/2^(n+1) - 1/2ⁿ) - 1/2^(n+1)) = Summe(1-2ⁿ) = 1.