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Aufgabe:

Welche der folgenden Funktionen \( f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) sind integrierbar? Geben Sie Be-
gründungen und berechnen Sie gegebenenfalls \( \int \limits_{0}^{1} \) \( f(x) d x \)
\( (\mathrm{a}) \)
$$ f(x):=\left\{\begin{array}{ll} {n,} & {\text { falls } x=\frac{1}{n} \text { mit } n \in \mathbb{N}} \\ {0} & {\text { sonst }} . \end{array}\right. $$
\( (b) \)
$$ f(x):=\left\{\begin{array}{ll} {1,} & {\text { falls } x=\frac{1}{n} \text { mit } n \in \mathbb{N}} \\ {0} & {\text { sonst }} . \end{array}\right. $$
\( (c) \)
$$ f(x):=\left\{\begin{array}{ll} {\frac{1}{2^{n}}} & {\text { für } \frac{1}{2^{n+1}}<x \leq \frac{1}{2^{n}} \text { mit } n \in \mathbb{N}_{0}} \\ {0,} & {\text { falls } x=0} \end{array}\right. $$
(d)
$$ f(x):=\left\{\begin{array}{cc} {2^{n+1} x-1} & {\text { für } \frac{1}{2^{n+1}}<x \leq \frac{1}{2^{n}} \text { mit } n \in \mathbb{N}_{0}} \\ {0,} & {\text { falls } x=0} \end{array}\right. $$

Ansatz:

Eigentlich müsste diese Aufgabe sehr einfach sein.

Im Analysis 1 Kurs sind folgende Kriterien für Integrierbarkeit genannt:

(1) Eine beschränkte Funktion f heißt Riemman-integrierbar, wenn das Oberintegral und das Unterintegral übereinstimmen.

(2) Jede monotone Funktion auf einem kompakten Intervall ist integrierbar

(3) Jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall ist integrierbar

(4) Eine Funktion f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} ist genau dann integrierbar, wenn es zu jedem  epsilon > 0 Treppenfunktionen phi und psi \in T[a,b] (Treppenfunktionen) gibt mir phi <= f <= psi und

integral von a bis b über (psi(x) - phi(x)) dx <= epsilon

Für (a) - (e) ist schonmal klar, dass sie weder moton noch stetig sind. Kriterien (2) und (3) fallen also weg.

Das Oberintegral bzw. das Unterintegral einer Funktion f hatten wir so definiert, dass sie das Integral über die kleinste (bzw. größte) Treppenfunktion ist, die größer gleich (bzw. kleiner gleich) f ist.

Ich vermute die Aufgaben sind relativ einfach, aber ich habe gerade leider ein Brett vor dem Kopf. Wer kann mir helfen? ;)

von
Ich denke im Moment wahrscheinlich auch zu kompliziert :D

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