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Wie berechne ich den Abstand folgender windschiefer Geraden?

g:x=(4/3/6)+r (2/-2/-6) und h:x=(3/-2/4)+s (-2/5/-2)

Bitte um Ergebnis, dann kann ich vergleichen, ob ich es richtig gemacht habe. Danke !!
von

1 Antwort

+1 Punkt

Konstruiere zunächst eine Hilfsebene H, die Gerade g enthält und die parallel zur Geraden h liegt. Das ist ganz einfach, denn diese Ebene muss die Richtungsvektoren der beiden Geraden als Spannvektoren haben. Als Stützvektor nimmt man den Stützvektor der Geraden g.
Also:

$$H:\vec { x } =\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -6 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix}$$

Forme diese Ebenengleichung in Normalenform um. Bestimme dazu zunächst den Normalenvektor zu H, indem du das Kreuzprodukt seiner Richtungsvektoren berechnest:

$$\vec { n } =\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -6 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 34 \\ 16 \\ 6 \end{pmatrix}$$

Damit erhält man die Normalenform der Ebene H als:

$$H:\begin{pmatrix} 34 \\ 16 \\ 6 \end{pmatrix}*\left[ \vec { x } -\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} \right] =0$$

Da die Ebene H parallel zur Gerade h verläuft, hat jeder Punkt von h den gleichen Abstand von H. Das gilt insbesondere für den Stützpunkt von h. Man konstruiert nun also eine Hilfsgerde k, die durch den Stützpunkt von h verläuft und senkrecht auf der Ebene H steht, d.h., deren Richtungsvektor der Normalenvektor von H ist:

$$k:\vec { x } =\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 34 \\ 16 \\ 6 \end{pmatrix}$$

Nun bestimmt man den Schnittpunkt von k und der Ebene H und dann den Abstand d dieses Schnittpunktes vom Stützpunkt von h. Dieser Abstand ist der Abstand der Geraden h von der Geraden g

Zur Bestimmung des Schnittpunktes setzt man die Gleichung von k in die Normalenform der Ebene H ein:

$$\begin{pmatrix} 34 \\ 16 \\ 6 \end{pmatrix}*\left[ \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 34 \\ 16 \\ 6 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} \right] =0\\ \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 34 \\ 16 \\ 6 \end{pmatrix}*\left[ \begin{pmatrix} -1 \\ -5 \\ -2 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 34 \\ 16 \\ 6 \end{pmatrix} \right] =0$$

und löst diese Gleichung nach r auf:

$$-34+{ 34 }^{ 2 }r+(-80)+16^{ 2 }r+(-12)+{ 6 }^{ 2 }r=0$$$$\Leftrightarrow 1156r+256r+36r-34-80-12=0$$$$\Leftrightarrow 1448r-126=0$$$$\Leftrightarrow r=\frac { 126 }{ 1448 } =\frac { 63 }{ 724 }$$

Zur Bestimmung des Schittpunktes setzt man diesen Wert von r nun in die Gleichung der Geraden k ein und rechnet aus:

$$\vec { x } =\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}+\frac { 63 }{ 724 } \begin{pmatrix} 34 \\ 16 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5,96 \\ -0,61 \\ 4,52 \end{pmatrix}$$

Nun ist noch der Abstand d der beiden Punkte \(\begin{pmatrix} 5,96 \\ -0,61 \\ 4,52 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) (Stützpunkt der Geraden h) zu bestimmen:

$$d=\sqrt { (5,96-3)^{ 2 }+{ \left( -0,61-2 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 4,52-4 \right)  }^{ 2 } } =3,98$$

 

Anmerkung:

Falls es sich hier um eine Schulaufgabe handeln sollte, so sind die "krummen" Zahlen, die sich hier egeben haben, durchaus etwas verwunderlich. Möglicherweise habe ich mich irgendwo verrechnet ...?

Vergleiche bitte mit deiner Lösung.

von 32 k  –  ❤ Bedanken per Paypal
Ich habe im tafelwerk eine ganz leichte Formel gesehen zur Berechnung des Abstandes zweier windschiefer geraden. Was kommt da raus?
Ich hatte mit der Formel d=2,06 raus
Ich habe die Formel auch gefunden. Sie lautet:$$d=\frac { \left| \left( \vec { q } -\vec { p }  \right) *\vec { n }  \right|  }{ \left| \vec { n }  \right|  }$$Damit ergibt sich:$$d=3,31$$

Meinen Fehler habe ich auch gefunden: Ein Vorzeichenfehler in der letzten Zeile ( bei der Berechnung des Abstandes d). Dort hätte der zweite Summand unter der Wurzel so aussehen müssen:$${ \left( -0,61-(-2) \right)  }^{ 2 }$$sodass die Zeile insgesamt so hätte aussehen müssen:$$d=\sqrt { (5,96-3)^{ 2 }+{ \left( -0,61-(-2) \right)  }^{ 2 }+{ \left( 4,52-4 \right)  }^{ 2 } } =3,31$$Siehe da, es ergibt sich derselbe Wert wie mit der Formel! Ich habe also bis auf diesen Fehler alles richtig gemacht.

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