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Hallo,

ich muss die Erlös-Preis Funktion E=E(p), bei der für einen Preis von p=100€ der maximale Erlös von 100000€ erzielt wird ermitteln. Nehmen Sie für die Preis- Absatzfunktion einen linearen Zusammenhang an.
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Achtung die Variable ist hier p. Absatz und Erlös wird als Funktion von dieser Variablen ausgedrückt.

Erlös-Preis-Funktion

E = E(p) = p*x(p)

wobei x(p) = mp + q      Ansatz für lineare Preis-Abstatzfunktion. x also Absatz und p Preis.

m und q zu bestimmende Konstanten.

Einsetzen in E

E(p) = p * (mp + q) = mp^2 + pq

E'(p) = 2mp + q

Voraussetzung:

p=100 heisst 100'000 Euro Erlös. Dabei werden 100'000: 100 = 1000 Stück abgesetzt.

x(100) = 1000 

heisst 100m + q = 1000              |I. Gleichung für m und q

Maximum bei p=100. Heisst E'(100) = 0.

Einsetzen in E'(p).      E'(100) = 200m + q = 0        |II. Gleichung für m und q

Jetzt auflösen:

I. - II.

-100m = 1000

m = - 10        

m in II. einsetzen -2000 + q = 0. ---> q = 2000

Also x(p) = -10p + 2000

E(p) = p*x(p) = p(-10p + 2000) = - 10p^2 + 2000p      in Euro

Probe? E(100) = -10*10000 + 200000 = 100'000 scheint zu stimmen.

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