Achtung die Variable ist hier p. Absatz und Erlös wird als Funktion von dieser Variablen ausgedrückt.
Erlös-Preis-Funktion
E = E(p) = p*x(p)
wobei x(p) = mp + q Ansatz für lineare Preis-Abstatzfunktion. x also Absatz und p Preis.
m und q zu bestimmende Konstanten.
Einsetzen in E
E(p) = p * (mp + q) = mp^2 + pq
E'(p) = 2mp + q
Voraussetzung:
p=100 heisst 100'000 Euro Erlös. Dabei werden 100'000: 100 = 1000 Stück abgesetzt.
x(100) = 1000
heisst 100m + q = 1000 |I. Gleichung für m und q
Maximum bei p=100. Heisst E'(100) = 0.
Einsetzen in E'(p). E'(100) = 200m + q = 0 |II. Gleichung für m und q
Jetzt auflösen:
I. - II.
-100m = 1000
m = - 10
m in II. einsetzen -2000 + q = 0. ---> q = 2000
Also x(p) = -10p + 2000
E(p) = p*x(p) = p(-10p + 2000) = - 10p^2 + 2000p in Euro
Probe? E(100) = -10*10000 + 200000 = 100'000 scheint zu stimmen.
