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Aufgabe:

Gegeben seien die Funktionen \( f: \mathbb{R} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R} \backslash\{0\} \)
mit \( f(x):=\frac{1}{x} \) sowie \( g: \mathbb{R} \rightarrow[-1,1] \) mit \( g(x):=\sin (x) \)

1. Ist \( f \) surjektiv? Ist \( g \) injektiv? (Begründung!)

2. Bestimmen sie \( f \circ g \) und \( g \circ f . \) Geben Sie jeweils auch den maximalen Definitionsbereich \( D_{f o g} \) bzw. \( D_{g \circ f} \) an!

3. Bestimmen Sie jeweils das Bild \( f \circ g\left(D_{f o g}\right) \) und \( g \circ f\left(D_{g \circ f}\right) . \) sind \( f \circ g: D_{f o g} \rightarrow \mathbb{R} \backslash\{0\} \) und
\( g \circ f: D_{g \circ f} \rightarrow[-1,1] \) surjektiv? (Begründung!)

4. Bestimmen Sie ein Intervall \( I \subset D_{f o g} \) so, dass die auf \( I \) eingeschränkte Funktion \( \left.f \circ g\right|_{I} \) injektiv ist. (Begründung!)

Avatar von
1.

f ist surjektiv; sogar bijektiv, da f = f^{-1} gilt. f^{-1} (x) = 1/x.

g ist nicht injektiv: Beispiel sin(0) = sin(π)
danke lu :))

hat jemand eine idee für die weitere Aufgaben ?
was möchtest du denn genau wissen?
wie findet man f o g und  g o f  bei dieser Aufgabe ?
wie habet ihr denn die Reihenfolge der Verknüpfung mit o definiert?

f o g     Zuerst g und dann f oder umgekehrt?

f(g(x)) = 1/sin(x)           'zuerst g und dann f'

g(f(x)) = sin(1/x)           'zuerst f und dann g'

Jetzt musst du einfach das nach eurer Definition Richtige auswählen für f o g oder  g o f.

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