Ist f(x):= 1/x surjektiv und ist g:=sin(x) injektiv? Bild der Verknüpfung bestimmen.

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Funktionen $f: \mathbb{R} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R} \backslash\{0\}$
mit $f(x):=\frac{1}{x}$ sowie $g: \mathbb{R} \rightarrow[-1,1]$ mit $g(x):=\sin (x)$

1. Ist $f$ surjektiv? Ist $g$ injektiv? (Begründung!)

2. Bestimmen sie $f \circ g$ und $g \circ f .$ Geben Sie jeweils auch den maximalen Definitionsbereich $D_{f o g}$ bzw. $D_{g \circ f}$ an!

3. Bestimmen Sie jeweils das Bild $f \circ g\left(D_{f o g}\right)$ und $g \circ f\left(D_{g \circ f}\right) .$ sind $f \circ g: D_{f o g} \rightarrow \mathbb{R} \backslash\{0\}$ und
$g \circ f: D_{g \circ f} \rightarrow[-1,1]$ surjektiv? (Begründung!)

4. Bestimmen Sie ein Intervall $I \subset D_{f o g}$ so, dass die auf $I$ eingeschränkte Funktion $\left.f \circ g\right|_{I}$ injektiv ist. (Begründung!)

Comments

1.

f ist surjektiv; sogar bijektiv, da f = f^{-1} gilt. f^{-1} (x) = 1/x.

g ist nicht injektiv: Beispiel sin(0) = sin(π)

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danke lu :))

hat jemand eine idee für die weitere Aufgaben ?

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was möchtest du denn genau wissen?

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wie findet man f o g und  g o f  bei dieser Aufgabe ?

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wie habet ihr denn die Reihenfolge der Verknüpfung mit o definiert?

f o g     Zuerst g und dann f oder umgekehrt?

f(g(x)) = 1/sin(x)           'zuerst g und dann f'

g(f(x)) = sin(1/x)           'zuerst f und dann g'

Jetzt musst du einfach das nach eurer Definition Richtige auswählen für f o g oder  g o f.