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Aufgabe: Die Vektoren \( a=\left(\begin{array}{c}{1} \\ {-2}\\{5}\\{-3}\end{array}\right), b= \quad\left(\begin{array}{c}{2} \\ {3}\\{1}\\{-4}\end{array}\right) \quad \) und \( c=\left(\begin{array}{c}{3} \\ {8}\\{-3}\\{-5}\end{array}\right) \) erzeugen einen Untervektorraum \( U \) des \( \mathbb{R}^{4} \). Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis von \( U \). Vervollständigen Sie diese Basis zu einer Basis des \(\mathbb{R}^4\)


\( a=\left(\begin{array}{r}1 \\ -2 \\ 5 \\ -3\end{array}\right) ; b=\left(\begin{array}{c}2 \\ 3 \\ 1 \\ -4\end{array}\right) ; c:\left(\begin{array}{c}3 \\ 8 \\ -3 \\ -5\end{array}\right) \quad \) uvr \( u \) dr \( \mathbb{R}^{4} \)
\( \operatorname{dim} u=3 \)
\( \lambda_{1 a}+\lambda_{2} b+\lambda_{3} c=0 \)

\( x_{1}+2 \lambda_{2}+3 \lambda_{3}=0 \)
\( -2 \lambda_{1}+3 \lambda_{2}+8 \lambda_{3}=0 \)
\( 5 \lambda_{1}+\lambda_{2}-3 \lambda_{3}=0 \)
\( -3 \lambda_{1}-4 \lambda_{2}-5 \lambda_{3}=0 \)



Ich weiß nicht ob mein Ansatz so richtig ist und wie ich die Linearkombination lösen soll.

von

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Stelle einfach die Matrix der Vektoren a, b und c auf (jeweils in eine Spalte) und bringe sie in Diagonalform.

Die Anzahl der Zeilen, in denen dann nicht nur Nullen stehen, ist dann gleich der Dimension von U.

Vorliegend erhält man:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 3 & 8 \\ 5 & 1 & -3 \\ -3 & -4 & -5 \end{pmatrix}$$Dritte Zeile mal 3, vierte Zeile mal 5 und dann die dritte Zeile zur vierten Zeile addieren:$$\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 3 & 8 \\ 15 & 3 & -9 \\ -15 & -20 & -25 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 3 & 8 \\ 15 & 3 & -9 \\ 0 & -17 & -34 \end{pmatrix}$$Vierte Zeile durch - 17 dividieren. Danach zweite Zeile mal 5, dritte Zeile mal 2/3 und dann die zweite Zeile zur dritten addieren:$$\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -10 & 15 & 40 \\ 10 & 2 & -6 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -10 & 15 & 40 \\ 0 & 17 & -34 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$Dritte Zeile durch 17 dividieren. Danach erste Zeile mal 2 und dann die erste Zeile zur zweiten Zeile addieren:$$\rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ -2 & 3 & 8 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 0 & 7 & 14 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$Erste Zeile durch 2 und zweite Zeile durch 7 dividieren. Danach die zweite Zeile von der vierten subtrahieren:$$\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$Zweite Zeile von der dritten subtrahieren und schließlich noch die dritte Zeile durch - 4 dividieren:$$\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Man hat also 3 Nicht-Null-Zeilen, daher gilt:

dim U = 3

Eine Basis von U erhält man, wenn man die Spalten dieser Matrix (ohne die Nullzeile) als Vektoren auffasst, denn diese sind linear unabhängig, wie man an der Diagonalmatrix sieht. Also: 

$$B=\left\{ \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) ,\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right) ,\left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right)  \right\}$$

Eine Basis B ' des R4 erhält man, indem man die Vektoren dieser Basis auf vier Dimensionen erweitert, indem man Nullen in die vierte Dimension einsetzt und dann einen von diesen Vektoren linear unabhängigen Vektor hinzufügt. Wegen der Nullen in der vierten dimension der ersten Vektoren  ist jeder vierdimensionale Vektor, der in der vierten Dimension ungleich Null ist, von diesen linear unabhängig.

Also ist:

$$B'=\left\{ \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) ,\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) ,\left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right) ,\left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right)  \right\}$$

eine Basis des R4

 

EDIT (wegen Nachfrage des Fragestellers):

Ist es vielleicht möglich, das du mir die Matrixschritte hinschreibst wie du auf die Nullen kommst?!

Gerne.

Dabei musste ich allerdings feststellen, dass ich mich bereits beim ersten Schritt verrechnet hatte. Da sich dieser Rechenfehler auch die weiteren Teilantworten auswirkte, habe ich meine gesamte obige Originalantwort entsprechend korrigiert.

von 32 k
Ist es vielleicht möglich, das du mir die Matrixschritte hinschreibst wie du auf die Nullen kommst?!

Hi, ich weiß nicht genau wo du dich verrechnet hast, aber für die Dimension kommt nur 2 raus... In Zeilenstufenform erhält man 2 Nullzeilen. Prüfe es mit Matrixcalc o.ä. nach :-)

Hi, ich in zwar nicht der Fragesteller, aber mir ist trotzdem eine Sache unklar. Ich habe das so gelernt, dass ich die Basis auch anhand der Pivotelement der Matrix in Zeilenstufenform auswählen darf, stimmt dass? Aber wie könnte ich das hier anwenden? geht das nur wenn man quadratische Matrizen vorliegen hat?

LG

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