Beweise: Unterraum U ≤ V. Zeige: ist u∈ U und v∈ V\U (d.h. v∉ U) so ist u + v ∉ U

Question

Aufgabe:

U ≤ V. Zeige: ist u∈ U und v∈ V\U (d.h. v∉ U) so ist u + v ∉ U

Es sei $U \leq V$. Zeigen Sie allgemein: Ist $u \in U$ und $v \in V \backslash U(d . h, v \in U)$ so ist,$u+v \in U$ Hinweis: Der Beweis erfolgt durch einen Widerspruchsbeweis.

Comments

Sollte das Elementzeichen am Schluss nicht durchgestrichen sein?

Ich habe es mal so in die Überschrift geschrieben, wie es eher Sinn macht.

Answer 1

Hi,
zuerst heisst es wahrscheinlich $\subset$ und nicht $\le$. Desweiteren sind U und V wahrscheinlich Untervektoräume nehem ich an. Ansonsten ist es das gleiche wie beim anderen Beweis. Sei $u\in U$ und $v \in V\setminus U$ d.h. $v \notin U$.

Angenommen $u+v \in U$ dann muss auch  $u+v-u=v \in U$ sein, da U ein UVR ist. Das ist ein Widerspruch, da $v \notin U$ ist.

Das ganze gilt aber nur, solange $U\ne V$ gilt. Wenn U=V gilt, gibt es ja ein solches Elment v, wie ich gewählt habe gar nicht.