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Untersuchen Sie Stetigkeit und Differenzierbarkeit an der Nahtstelle:

a) f(x)= x^2 +x für x>1 ; 3x -1 für x<=1

b) f(x)= 1+ln x für x>=1 ; x^2 für x<1.
Gefragt von

1.        3x -1 für x=1 sollte wohl 3x -1 für x<=1 heissen ?

2.         Geht's hier noch so weiter: x^2 für x <1       ?

ja so sollte es sein
ok. ich habe das so korrigiert. danke.

1 Antwort

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Mal zu Aufgabe b)

Die Nahtstelle ist bei x=1.

Der Graph von f(x) besteht links von x=1 aus der blauen und rechts davon aus der roten Kurve.

Im Punkt P(1/1) schneiden sich die beiden Graphen, denn 1^2 = 1 und ln (1) + 1 = 0 + 1 = 1

Deshalb ist die Funktion in der Nahtstelle stetig.

Sie ist dort aber nicht differenzierbar. Das siehst du daran, dass  in P(1/1) zwischen der blauen und der roten Kurve ein Winkel ≠ 0 liegt. Also ein Knick vorliegt.

Um das rechnerisch zu zeigen, musst du die beiden Teilfunktionen ableiten und 1 einsetzen. Dann siehst du, dass die Steigungen von links (blaue Kurve) und rechts (rote Kurve) nicht übereinstimmen. 

(ln(x) + 1)' = 1/x          x=1 einsetzen: Steigung 1.

(x^2)' = 2x                   x=1 einsetzen: Steigung 2.

 

Bei Aufgabe a) machst du genau dasselbe.

f(x) : links der Naht die rote Kurve (Gerade) und rechts davon die blaue Kurve.

x =1 einsetzen in x^2 +x   --------> 1^2 + 1 =2

x=1 einsetzen in 3x-1 --------> 3-1 = 2

Somit stetig in x=1.

(x^2 +x)' = 2x + 1 -----> x=1 einsetzen: Steigung in 1 ist 3

(3x-1)' =3 Konstant. Steigung in 1 ist 3

Daher f(x) differenzierbar in x=1.

Beantwortet von 141 k
Wieso muss man bei a) x=1 einsetzen? Hier ist doch x>1
Eigentlich musst du limes x----> 1+ berechnen. Da aber die Teilkurve rechts der Nahtstelle stetig ist kannst du einfach x=1 einsetzen.
Das gilt für alle Teilkurven in diesen beiden Teilaufgaben.

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