Komplexe Zahlenebene: Teilmenge von C skizzieren für Im(z²+4z)>2

Question

Ich soll die Teilmenge von C skizzieren:

M2= {z E C | Im(z²+4z)>2}

Nun habe ich mir überlegt, für z Werte einzusetzen. Üblicherweiße nimmt man ja z=a+bi. Da ich mich hier aber lediglich im Imaginärteil befinde, habe ich für z lediglich bi eingesetzt und danach nach i aufgelöst.

Im(Z²+4z) > 2

(i²)+4*(i)   > 2             | i²=-1

-1+ 4i        > 2            | +1

       4i        > 3            | :4

        i         > (3/4)

Als Skizze würde das bedeuten, dass alle Werte ÜBER 3/4 gültig sind.

Meine Frage ist nun, ob mein Ansatz das a+bi auf lediglich bi zu reduzieren richtig ist, oder ob ich da was falsch gemacht habe?

mfg Michael

Answer 1

ob mein Ansatz das a+bi auf lediglich bi zu reduzieren richtig ist, oder ob ich da was falsch gemacht habe?

Du musst hier erst mal x + iy für z einsetzen. Alle Klammern auflösen und das Resultat nach 

u + iv  sortieren.

Dann soll gelten v > 2.

Comments

das sieht dann so aus:

(x+iy)² + 4*(x+iy) > 2

x² + 2xyi - y² + 4x + 4yi > 2              | umstellen nach i

x² + i*(2xy + 4y) -y² + 4x > 2

i*(2xy+4y) > 2

2xy+4y > 2


Meintest du das so ?

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Hier noch eine Korrektur deiner Schreibweise:

Im ((x+iy)² + 4*(x+iy) ) > 2

Im (x² + 2xyi - y² + 4x + 4yi ) > 2              | umstellen nach i

Im( x² + i*(2xy + 4y) -y² + 4x) > 2

Im (i*(2xy+4y) ) > 2              Diese Zeile ist überflüssig.

2xy+4y > 2

y(2x + 4) > 2  und jetzt 3 Fälle

Falls x > -2

y > 2/(2x+4) = 1/(x+2)

Falls x< -2

y < 1/(x+2)

und falls x= -2

0> 2. Falsch

Nun die Hyperbel y = 1/(x+2) zeichnen und die Gebiete unterhalb resp. oberhalb der Kurve markieren.

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Sieht dann zum Schluss so aus wie hier: https://www.wolframalpha.com/input/?i=2xy%2B4y+%3E+2++

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was hast du mit resp. gemeint ?

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Danke Lu. Es ist echt unglaublich wie viel Zeit ich für so eine "einfache" Aufgabe gebraucht habe.. :)

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'respektive'

Also einmal oberhalb und einmal unterhalb der Kurve.

Nicht beachten: (Test mit einem andern Tool)
http://www.symbolab.com/solver/step_by_step/2xy%2B4y%20%3E%202%20%20

Das zeigt leider das gesuchte Gebiet nicht 2-dim.