f besitzt mindestens einen Fixpunkt

Question

Hallo:

Eine Funktion f:ℝ→ℝ heist monoton wachsend, falls für alle x,y ∈ℝ mit x≤y gilt f(x)≤f(y)

Es sei nun f:ℝ→ℝ eine monoton wachsende Funktion und es seien a,b∈ℝ mit a<b. Ferner gelte f(a)>a und f(b)<b

Zeigen Sie: f besitzt mindestens einen Fixpunkt, d.h. es existiert ein x∈ℝ mit f(x)=x

Hinweis: Betrachte z:=sup{y∈ℝ:a≤y≤b, y≤f(y)}


Selbst mit dem Hinweis komme ich nicht weiter. Danke schon mal für die Hilfe!!!

Answer 1

Hi,

ich gehe davon aus, dass Deine Funktion stetig ist. Für stetige Funktionen gilt der Zwischenwertsatz der besagt, das es zu jedem \( u\in[f(a), f(b)]  \) ein \( c\in [a, b] \) existiert mit der Eigenschaft u=f(c), falls \( f(a)\lt f(b) \) gilt. Gilt \( f(b)\lt f(a) \) gilt der Satz ebenfalls nur mit dem Intervall [f(b), f(a)]

Betrachte jetzt die Funktion g(x)=f(x)-x

Es gilt \( g(a)\gt 0 \)  und \( g(b) \lt 0 \)

Damit liegt \( 0\in [g(b), g(a)] \) und da g(x) steig ist, gibt es ein \( x \in [a, b] \) mit g(x)=0, also f(x)=x

Ansonsten denke ich gibt es einige Fehler in der Aufgabenstellung. Nehme an, die Funktion ist monoton wachsend und und es gilt a=0 und b=1 sowie \( f(0)=1-\epsilon \) und \( f(1) \) und \(  0 \lt \epsilon \ \lt \frac{1}{2} \) dann ist \( f(0) \gt \frac{1}{2} \) und \( f(1)\lt \frac{1}{2} \) was aber nicht geht, da ja die Funktion f ja monoton wachsend ist.

Nun nehme an f ist nicht stetig. Z.b. definiert als $$ f(x)=\begin{cases} \frac{1}{2} & \text{für } x\ne \frac{1}{2} \\ -1 & \text{für } x =\frac{1}{2} \end{cases} $$ Für diese Funktion gibt es aber kein x mit f(x)=x

der einzige Kandidat ist \( x=\frac{1}{2} \) aber da ist f(x)=-1

Insofern ist die Forderung nach der Monotonie falsch und die notwendige Forderung nach der Stetigkeit ist nicht gefordert.

Answer 2

Das z was du aus dem Hinweis bekommst muss ja kleiner gleich f(z) sein. Nun kannst du annehmen, dass dein z<f(z) ist, und diese Annahme dadurch widerlegen, dass z<=b sein soll und b>f(b) ist, somit das Supremum größer ist als in der Annahme. Nun weißt du, dass z nicht kleiner als f(z) aber auch nicht größer ist, woraus folgt, dass sie gleich groß sein müssen.