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Hey ihr Lieben,

ich komm bei dieser Aufgabe leider absolut nicht weiter: log3x(3/x)+(log3x)2=1

ich weiß bei dem ersten Teil der Gleichung muss man einen Basiswechsel durchführen, aber dann komm ich leider einfach nicht weiter.

Vielen dank schonmal

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log3x(3/x)+(log3x)2=1

Basiswechsel für den ersten Term, damit eine neue Basis = 3 entsteht

allgemein: loga(b) = logc(b)/logc(a); a = 3x und b = 3/x -> log3x(3/x) = log3(3/x)/log3(3x)

log3(3/x)/log3(3x) + (log3x)2 =1     | *log3(3x)

log3(3/x) + (log3x)2 **log3(3x) =  1*log3(3x)

log3(3) - log3(x) + (log3x)2 *log3(3x) =  log3(3x)

1- log3(x) + (log3x)2 *log3(3x) =  log3(3x)

1- log3(x) + (log3x)2 *log3(3x) - log3(3x) = 0

1- log3(x) + log3(3x)*[(log3x)- 1] = 0

Substitution 3x=z

1- log3(z/3) + log3(z)*[(log3(z/3))- 1] = 0

1- log3(z) + log3(3) + log3(z)*[(log3(z) - log3(3))- 1] = 0

2- log3(z) + log3(z)*[(log3(z) - 1)2 - 1] = 0

Substitution y=log3(z)

2- y + y*[(y - 1)2 - 1] = 0

2- y + y*[y2-2y + 1 - 1] = 0

2- y + y3-2y2  = 0

(2- y) - y2*(2-y)  = 0

(2- y)(1 - y2)  = 0 -> (2- y) = 0 oder (1 - y2) =0 -> y1 = 2 oder y2/3 = ±1

Es war log3(z) = y -> 2=log3(z1) -> z1 = 32  Analog z2 = 3 und z3 = 1/3

Es war auch 3x=z -> x1 = 3, x2 = 1 und x3 = 1/9 

 

 

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