Aufgabe:
Es sei f : R → R wachsend und es seien a, b ∈ R mit a < b. Ferner gelten f(a) > a und
f(b) < b. Beweisen Sie, dass f mindestens einen Fixpunkt besitzt, d.h., dass es ein x ∈ R gibt
mit f(x) = x.
Hinweis: Betrachten Sie z := sup{y ∈ R: a ≤ y ≤ b und y ≤ f(y)} und f(z)
Problem/Ansatz:
Mein Problem ist, dass wir noch keine Stetigkeit eingeführt haben, somit kann man nicht über den Zwischenwertsatz argumentieren.
Mein Ansatz wäre den Hinweis zu beweisen, also z <= f(z), mit der Annahme z>f(z) und dass dann auf einen Widerspruch zu bringen, allerdings scheiterts schon da und mir wird auch nicht klar, wie es danach weiter geht.
Daher danke im voraus für jegliche Hilfe.
