f besitzt mindestens einen Fixpunkt

Question

Hallo:

Eine Funktion f:ℝ→ℝ heist monoton wachsend, falls für alle x,y ∈ℝ mit x≤y gilt f(x)≤f(y)

Es sei nun f:ℝ→ℝ eine monoton wachsende Funktion und es seien a,b∈ℝ mit a<b. Ferner gelte f(a)>a und f(b)<b

Zeigen Sie: f besitzt mindestens einen Fixpunkt, d.h. es existiert ein x∈ℝ mit f(x)=x

Hinweis: Betrachte z:=sup{y∈ℝ:a≤y≤b, y≤f(y)}


Selbst mit dem Hinweis komme ich nicht weiter. Danke schon mal für die Hilfe!!!

Answer 1

Hi,

ich gehe davon aus, dass Deine Funktion stetig ist. Für stetige Funktionen gilt der Zwischenwertsatz der besagt, das es zu jedem $u\in[f(a), f(b)]$ ein $c\in [a, b]$ existiert mit der Eigenschaft u=f(c), falls $f(a)\lt f(b)$ gilt. Gilt $f(b)\lt f(a)$ gilt der Satz ebenfalls nur mit dem Intervall [f(b), f(a)]

Betrachte jetzt die Funktion g(x)=f(x)-x

Es gilt $g(a)\gt 0$  und $g(b) \lt 0$

Damit liegt $0\in [g(b), g(a)]$ und da g(x) steig ist, gibt es ein $x \in [a, b]$ mit g(x)=0, also f(x)=x

Ansonsten denke ich gibt es einige Fehler in der Aufgabenstellung. Nehme an, die Funktion ist monoton wachsend und und es gilt a=0 und b=1 sowie $f(0)=1-\epsilon$ und $f(1)$ und $0 \lt \epsilon \ \lt \frac{1}{2}$ dann ist $f(0) \gt \frac{1}{2}$ und $f(1)\lt \frac{1}{2}$ was aber nicht geht, da ja die Funktion f ja monoton wachsend ist.

Nun nehme an f ist nicht stetig. Z.b. definiert als $$f(x)=\begin{cases} \frac{1}{2} & \text{für } x\ne \frac{1}{2} \\ -1 & \text{für } x =\frac{1}{2} \end{cases}$$ Für diese Funktion gibt es aber kein x mit f(x)=x

der einzige Kandidat ist $x=\frac{1}{2}$ aber da ist f(x)=-1

Insofern ist die Forderung nach der Monotonie falsch und die notwendige Forderung nach der Stetigkeit ist nicht gefordert.

Answer 2

Das z was du aus dem Hinweis bekommst muss ja kleiner gleich f(z) sein. Nun kannst du annehmen, dass dein z<f(z) ist, und diese Annahme dadurch widerlegen, dass z<=b sein soll und b>f(b) ist, somit das Supremum größer ist als in der Annahme. Nun weißt du, dass z nicht kleiner als f(z) aber auch nicht größer ist, woraus folgt, dass sie gleich groß sein müssen.