Punkte bestimmen mit Steigung 2. g(x)=x+cos(x)

Question

punkte bestimmen in denen die zugehörigen graphen die steigung 2 haben

f(x)=x+sin(x) und g(x)=x+cos(x)

Answer 1

Hallo mariena,

f(x)=x+sin(x)

f ( x ) = x + sin ( x )
f ´ ( x ) = 1 + cos ( x )
Punkte mit Steigung 2
1 + cos ( x ) = 2
cos ( x ) = 1
arccos(cos(x)) = arccos(1)
x = acrcos(1)
mit Taschenrechner
x = 0
Da die Funktion sich periodisch wiederholt
sind alle Lösungen
x = 2 * π * k ( k ∈ ℤ [ k ist Element der ganzen Zahlen 0,1,-1,2,-2 )

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mfg Georg

Comments

Danke :) wie meinst du das mit x=0 und dann x=2+k*pi?

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Hallo mariena,

  die Aufgabe entpuppte sich als doch etwas mehr als gedacht.

  x = acrcos(1)
  mit Taschenrechner
  x = 0
  Das dürfte klar sein. Eingesetzt in die Ausgangsgleichung ergibt sich
  f ( x ) = x + sin ( x )
  f ( 0 ) = 0 + sin ( 0  ) = 0
  f ´ ( x ) = 1 + cos ( x )
  f ´( 0 ) =  1 + cos ( 0 ) = 2
  Ein Punkt mit der Steigung 2 ist ( 0  |  0 ).
  Am besten man nutzt jetzt einen Funktionplotter ( z.B. oben
  rechts auf dieser Seite ) und schaut sich die Funktion im
  Bereich x=0..4*π einmal an.
In der Funktion tauchen im Abstand 2 * π wieder Punkte
  mit der Steigung 2 auf.  x = 0, 2 * π , - 2 * π, 4 * π, -4 * π...
  oder allgemein
  x = 2 * π * k ( k ∈ ℤ [ k ist Element der ganzen Zahlen 0,1,-1,2,-2 )
  Dann müßte man den Funktionswert auch ausrechnen bzw
  eine allgemeine Rechenvorschrift für den Funktionswert angeben.

  Das war / ist mir jetzt ein bißchen viel.

  Ich hoffe ich habe dir weitergeholfen.

  mfg Georg

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Vielen dank :) ich hab alles verstanden, aber noch eine kleine frage, da steht x = 2 *pi*k, wir hatten bis jetzt immer ergebnisse gehabt die +pi*k sind, wir hatten noch nie *pi*k gehabt, und die 2 bei x=2*pi*k, ist das die Steigung 2 oder was für eine 2 ist das genau? Mir sind nur noch diese dinge nicht klar, sonst ist alles klar :)

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Beispiel :
Stellt dir bitte die sin Funktion vor.
Die Nullstellen wären
0, π, 2 * π, 3*π, 4 * π, 5 * π, usw
Die Reihe kann beschrieben werden mit
k * π ( k = 0, 1, 2, 3 oder k ist Element der natürlichen Zahlen plus die 0 )
Da die Nullstellen auch in der Richtung der negativen x-Achse gehen
wäre die Reihe
k * π ( k = 0, 1, -1, 2,  -2,  3 oder k ist Element der ganzen Zahlen  )
Es gibt auch Funktion bei denen sich Stellen erst nach
der Periodenlänge 2 * π wiederholen ( wie bei deiner Funktion ) , also
2 * k * π  ( k ∈ ℤ  )

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mfg Georg