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Hallo zusammen,  hier ist  Niko

Hier ist meine Aufgabe, hoffentlich ihr könnt mir helfen:)

 

Bestimmen Sie :

 

a. aa

 

 

b. bb

 

 

c. cc

 

 

d. dd

 

 

e. ee

 

f. ff

 

Danke im Voraus!

 

 

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a)
Wir klammern im Zähler und Nenner n^3 aus und kürzen den Bruch durch n^3.
n^3(15 + 7/n + 10/n^2 + 3/n^3) / (n^3(21 + 1000/n^2))
(15 + 7/n + 10/n^2 + 3/n^3) / (21 + 1000/n^2)
Alles wo wir durch n teilen geht gegen 0
15 / 21
Der ganze Bruch geht also gegen 15/21 = 5/7

b)
Hier können wir durch n^3 kürzen
(13 + 9/n + 11/n^2 + 1/n^3) / (25n + 1000/n^2)
Alles wo wir durch n teilen geht gegen 0
13 / (25n)
Der Nenner geht gegen unendlich und 13 geteilt durch unendlich geht gegen 0.

c)
Ich teile durch einen Bruch indem ich mit dem Kehrbruch multipliziere
(n^2 - 1) / (n + 2)^3 * (2n + 1)^2 / (n + 1)
(n + 1)(n - 1) / (n + 2)^3 * (2n + 1)^2 / (n + 1)
(n - 1) / (n + 2)^3 * (2n + 1)^2
(n - 1)(4n^2 + 4n + 1) / (n + 2)^3
(4n^3 - 3n - 1) / (n^3 + 6·n^2 + 12·n + 8)
Auch hier können wir Zähler und Nenner durch n^3 kürzen und erhalten als Grenzwert 4

d)
n^2 / 2^n
Zähler und Nenner gehen gegen unedlich, weswegen wir die Regel von L'Hospital anwenden dürfen.
2n / (2^n * ln2)
2 / (2^n * ln2 * ln2)
Das geht jetzt aber gegen 2/∞ und damit gegen 0.
 
e)
31^(n/5)/17^(n/2)
(31^(1/5) / 17^(1/2))^n
(0.4820)^n
Das geht jetzt gegen 0, wenn der Exponent gegen unendlich geht.

f)
(2n)^(1/n)
e^ln((2n)^(1/n))
e^((1/n)*ln(2n))
Wir betrachten jetzt nur mal den Exponenten
(1/n)*ln(2n) = ln(2n) / n
Regel von L'Hospital
1/n / 1 = 1/n
Das geht gegen 0 und damit geht der Exponent gegen 0.
e^0 geht dann gegen 1, weswegen der Grenzwert hier 1 ist.
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