Menge aller z in den komplexen Zahlen bestimmen mit Imz^2 = 0

Question

Ich soll jeweils die Menge aller komplexen Zahlen angeben für die gilt:

(i) |z − 2i| + |z + 2i| < 4 ,

(ii) Imz^2 = 0 .

(das sind 2 verschiedene Aufgaben)

Danke schonmal, würde mich über eine Antwort freuen.

Gruß

Comments

(i) |z − 2i| + |z + 2i| < 4 ,

| z - 2i| + | z - (-2i)| < 4

(Abstand von 2i) + (Abstand von -2i) < 4.

(Abstand von 2i) + (Abstand von -2i) < Konstante
Wäre das Innere einer Ellipse. Schau mal unter Gärtnerkonstruktion Ellipse.

Nun ist aber hier der Abstand von 2i und (-2i) schon 4.

Daher gibt es keinen Punkt in der komplexen Ebene, der diese Ungleichung erfüllt.

Kontrolle: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Cz+−+2i%7C+%2B+%7Cz+%2B+2i%7C+%3C+4+

hat das Resultat 'false'.

https://de.wikipedia.org/wiki/Gärtnerkonstruktion

Answer 1

Im(z^2) = 0

z = x+iy

z^2 = x^2 + 2ixy - y^2

Im(z^2) = 2xy = 0

L = {(x,y) | x = 0 ODER y = 0}

Somit die reelle zusammen mit der imaginären Achse der komplexen Zahlenebene.