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Untersuchen Sie die folgende komplexe Folge auf Beschränktheit, Monotonie und Konvergenz.

xn=(100n+1)2 / 25(n2+n+1)

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Hi, wie ist das gemeint? \( x_n=\frac{ (100+1)^2 }{25(n^2+n+1) } \) oder \( x_n=\frac{ (100+1)^2 }{25}(n^2+n+1) \)
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Ich nehme mal an, du meinst

xn=(100n+1)2 / (25(n2+n+1))

n sind natürliche Zahlen. Zähler und Nenner sind positiv. Daher gilt xn > 0 , d.h. (xn) ist nach unten beschränkt und für alle natürlichen n definiert.

Nun noch eine Abschätzung nach oben:

xn=(100n+1)2 / (25(n2+n+1))

< (101n)^2 / (25(n^2))           |Zähler vergrössert sobald n>0, Nenner verkleinert

= (101^2 n^2)/(25n^2) = 101^2/25  Folgerung: 101^2/25 ist eine obere Schranke. Folgerung: die Folge ist beschränkt. Nun zur Monotonie:  xn=(100n+1)2 / (25(n2+n+1)) 

xn+1=(100(n+1)+1)2 / (25((n+1)2+(n+1)+1)) 

xn+1 - xn = (100(n+1)+1)2 / (25((n+1)2+(n+1)+1)) - (100n+1)2 / (25(n2+n+1)) = 

Bild Mathematik

gemäss https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28100%28n%2B1%29%2B1%29%5E2+%2F+%2825%28%28n%2B1%29%5E2%2B%28n%2B1%29%2B1%29%29+-+%28100n%2B1%29%5E2+%2F+%2825%28n%5E2%2Bn%2B1%29%29

Kannst du bestimmt selbst umformen. Wichtig: Das Resultat ist offensichtlich grösser als 0.

Daher

xn+1 - xn  > 0

xn+1 > xn 

Das heisst nun, dass die Folge streng monoton steigend ist. 

Gemäss der Tabelle im Link ist die Folge der Differenzen zumindest zu Beginn streng monoton fallend. Daher kann man vermuten, dass die Folge konvergiert.

Konvergenz:

Da die Folge beschränkt und streng monoton ist, konvergiert sie.

von 162 k 🚀

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