0 Daumen
640 Aufrufe

Untersuchen Sie die folgende komplexe Folge auf Beschränktheit, Monotonie und Konvergenz.

xn=(100n+1)2 / 25(n2+n+1)

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen
Hi, wie ist das gemeint? \( x_n=\frac{ (100+1)^2 }{25(n^2+n+1) } \) oder \( x_n=\frac{ (100+1)^2 }{25}(n^2+n+1) \)
Avatar von 39 k
0 Daumen

Ich nehme mal an, du meinst

xn=(100n+1)2 / (25(n2+n+1))

n sind natürliche Zahlen. Zähler und Nenner sind positiv. Daher gilt xn > 0 , d.h. (xn) ist nach unten beschränkt und für alle natürlichen n definiert.

Nun noch eine Abschätzung nach oben:

xn=(100n+1)2 / (25(n2+n+1))

< (101n)^2 / (25(n^2))           |Zähler vergrössert sobald n>0, Nenner verkleinert

= (101^2 n^2)/(25n^2) = 101^2/25  Folgerung: 101^2/25 ist eine obere Schranke. Folgerung: die Folge ist beschränkt. Nun zur Monotonie:  xn=(100n+1)2 / (25(n2+n+1)) 

xn+1=(100(n+1)+1)2 / (25((n+1)2+(n+1)+1)) 

xn+1 - xn = (100(n+1)+1)2 / (25((n+1)2+(n+1)+1)) - (100n+1)2 / (25(n2+n+1)) = 

Bild Mathematik

gemäss https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28100%28n%2B1%29%2B1%29%5E2+%2F+%2825%28%28n%2B1%29%5E2%2B%28n%2B1%29%2B1%29%29+-+%28100n%2B1%29%5E2+%2F+%2825%28n%5E2%2Bn%2B1%29%29

Kannst du bestimmt selbst umformen. Wichtig: Das Resultat ist offensichtlich grösser als 0.

Daher

xn+1 - xn  > 0

xn+1 > xn 

Das heisst nun, dass die Folge streng monoton steigend ist. 

Gemäss der Tabelle im Link ist die Folge der Differenzen zumindest zu Beginn streng monoton fallend. Daher kann man vermuten, dass die Folge konvergiert.

Konvergenz:

Da die Folge beschränkt und streng monoton ist, konvergiert sie.

Avatar von 162 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community