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Untersuchen Sie, in welchen Punkten x∈ℝ die folgenden Funktionen stetig sind:

a)

f:ℝ→ℝ

\( f(x)=\left\{\begin{array}{l}{0} \\ {1}\end{array}\right. \)

0 für x∈ℝ\ℚ

1 für x∈ℚ

b)

g:ℝ→ℝ, g(x) = x * f(x)

zu a)

f(x)=0 für alle irrationalen Zahlen und f(x)=1 für alle rationale Zahlen. Dann müsste doch die Funktion f für alle x∈ℚ stetig und für alle x∈ℝ\ℚ unstetig sein oder?

dann müsste doch bei b) das gleiche rauskommen. Und wie schreibt man das alles formal hin?

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Entweder damit, oder dem Folgekriterium. Die Frage gab es in unterschiedlichen Formen letzter Zeit des Öfteren.

Hier mal zur Inspiration:

FYI: https://www.mathelounge.de/119738/stetigkeit-von-funktionen-punkte-finden-in-denen-stetig-ist

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b) ist im Prinzip das hier:

https://www.mathelounge.de/201825/stetigkeit-nur-in-einem-punkt-f-x-0-fur-x€q-und-f-x-x-fur-x€r-q

Ähnlich wie hier: https://www.mathelounge.de/237611/welchem-bereich-folgende-funktion-stetig-falls-x∈ℚ-falls-x∈ℝ

zu a)

f(x)=0 für alle irrationalen Zahlen und f(x)=1 für alle rationale Zahlen. Dann müsste doch die Funktion f für alle x∈ℚ stetig und für alle x∈ℝ\ℚ unstetig sein oder?

Nein! Man kann auch zu jeder rationalen Zahl r  eine Folge (xn)_(nElementN) von irrationalen Zahlen angeben, die gegen r konvergiert.

Bsp. xn:= r +  (√2)/n

Daher ist a) nirgends stetig.

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